Аксиомы кольца. Кольца

Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции-сложение (+) и умножение ( ), удовлетворяющие условиям:

1) относительно операции сложения К - коммутативнаятруппа;

2) относительно операции умножения К - полугруппа;

3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, c K , называется кольцом (К,+, ).

Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а , b , то кольцо называется коммутативным.

Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.

Подмножество L кольца называется подкольцом, если L - подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b L выполняется а+b L и ab L.

Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством S K, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.

1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, )-коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел - коммутативные кольца с единицей.

2. Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е - единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.

3. Пусть K-произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены

с переменной х и коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 , ..., а n , из К. Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов- это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной х т над кольцом K.

4. Пусть X - произвольное множество, К -произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

где + и - операции в кольце К.

Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K . Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.

Многие свойства колец - это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a m a n =a m + n , (а т) п =а тп для всех m , n и всех a .

Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:

1) для всех a a 0=0 a=0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab) ;

3) - a=(-1)a .

Действительно:

2) 0=a (аналогично (-a)b=-(ab));

3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a .

Поле

В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а =0, либо b =0. Но в кольце квадратных матриц порядка n >1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = .

Если в кольце К ab=0 при а 0, b , то а называется левым, а b - правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.

1. В кольце функции f: R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Для них f 1 (x) =0 при x и f 2 (x )=0 при x , а поэтому произведение f 1 (x) f 2 (x) - нулевая функция, хотя f 1 (x) и f 2 (x) . Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.

2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:

(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);

(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).

Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).

Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с. Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Пусть К - кольцо, с единицей. Элемент а называется обратимым, если существует такой элемент а -1 , для которого aa -1 =a -1 a=1 .

Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab =0 , то a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0 (аналогично ba=0 ).

Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.

Действительно, умножение в К ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а и b обратимы, то
(аb) -1 =b -1 a -1 .

Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим, т. е. относительно операции умножения множество K \{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.

Коммутативное кольцо Р с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.

Произведение аb -1 записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b 0 . Элемент является единственным решением уравнения bx=a. Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам:

Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= - решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= - единственное решение уравнения bdt=da+bc.

1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.

8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8

8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.

8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.

8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:

а) множество целых чисел;

б) множество рациональных чисел;

в) множество действительных чисел, отличных от нуля.

8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) группу;

б) кольцо;

8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:

а) некоммутативное кольцо;

б) коммутативное кольцо;

8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) кольцо;

8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:

8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

а) группу;

б) абелеву группу.

8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.

8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.

Пусть (K,+, ·) - кольцо. Так как (K, +) - абелева группа, учитывая свойства групп получим

СВ-ВО 1 . Во всяком кольце (K,+, ·) имеется единственный нулевой элемент 0 и для всякого a ∈ K имеется единственный противоположный ему элемент −a.

СВ-ВО 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

СВ-ВО 3. Для любых a, b ∈ K в кольце K существует единственная разность a − b, причем a − b = a + (−b). Таким образом, в кольце K определена операция вычитания, при этом она обладает свойствами 1′-8′.

СВ-ВО 4 . Операция умножения в K дистрибутивна относительно операции вычитания, т.е. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).

Док-во. Пусть a, b, c ∈ K. Учитывая дистрибутивность операции · в K относительно операции + и определение разности элементов кольца, получим (a − b)c + bc = ((a − b) + b)c = ac, откуда по определению разности следует, что (a − b)c = ac − bc.

Аналогично доказывается правый закон дистрибутивности операции умножения относительно операции вычитания.

СВ-В 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

Доказательство. Пусть a ∈ K и b-произвольный элемент из K. Тогда b − b = 0 и поэтому, учитывая предыдущее свойство, получим a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.

Аналогично доказывается, что 0a = 0.

СВ-ВО 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).

Доказательство. Пусть a, b ∈ K. Тогда (−a)b + ab = ((−a) + a)b =

0b = 0. Значит, (−a)b = −(ab).

Аналогично доказывается равенство a(−b) = −(ab).

СВ-ВО 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.

Доказательство. В самом деле, применяя дважды предыдущее свойство, получим (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.

ЗАМЕЧАНИЕ. Свойства 6 и 7 называют правилами знаков в кольце.

Из дистрибутивности операции умножения в кольце K относительно операции сложения и свойств 6 и 7 вытекает следующее

СВ-ВО 8. Пусть k, l-произвольные целые числа. Тогда ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

Подкольцо

Подкольцом кольца (K,+, ·) называется подмножество H множества K, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в K, и само является кольцом относительно этих операций.

Примеры подколец:

Так, Z -подкольцо кольца (Q,+, ·), Q-подкольцо кольца (R,+, ·), Rn×n -подкольцо кольца (Cn×n,+, ·), Z[x]-подкольцо кольца (R[x],+, ·), D -подкольцо кольца (C,+, ·).

Во всяком кольце (K,+, ·) само множество K, а также одноэлементное подмножество {0} являются подкольцами кольца (K,+, ·). Это так называемые тривиальные подкольца кольца (K,+, ·).

Простейшие свойства подколец.

Пусть H - подкольцо кольца (K,+, ·), т.е. (H,+, ·) само является кольцом. Значит, (H, +)-группа, т.е. H -подгруппа группы (K, +). Поэтому справедливы следующие утверждения.

СВ-ВО 1. Нулевой элемент подкольца H кольца K совпадает с нулевым элементом кольца K.

СВ-ВО 2 . Для всякого элемента a подкольца H кольца K противоположный ему элемент в H совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в K.

СВ-ВО 3. Для любых элементов a и b подкольца H их разность в H совпадает с элементом a − b, т.е. с разностью этих элементов в K.

Признаки подкольца.

ТЕОРЕМА 1 (первый признак подкольца).

Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является подкольцом кольцаK тогда итолькотогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

Необходимость. Пусть H - подкольцо кольца (K,+, ·). Тогда H -подгруппа группы (K, +). Поэтому по первому признаку подгруппы (в аддитивной формулировке), H удовлетворяет условиям (1) и (2). Кроме того, H замкнуто относительно операции умножения, определенной в K, т.е. H

удовлетворяет и условию (3).

Достаточность. Пусть H ⊂ K, H 6= ∅ и H удовлетворяет условиям (1) − (3). Из условий (1) и (2) по первому признаку подгруппы следует, что H -подгруппа группы (K, +), т.е. (H, +)-группа. При этом, так как (K, +)-абелева группа, (H, +) также абелева. Кроме того, из условия (3) следует, что умножение является бинарной операцией на множестве H. Ассоциативность операции · в H и ее дистрибутивность относительно операции + следуют из того, что такими свойствами обладают операции + и · в K.

ТЕОРЕМА 2 (второй признак подкольца).

Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является

подкольцом кольца K т. и т. т, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

При этом используется теорема 2′ (второй признак подгруппы в аддитивной формулировке) и замечание к ней.

7.Поле (определение, виды, свойства, признаки).

Полем называется коммутативное кольцо с единицей e не равно 0, в котором всякий элемент, отличный отнуля имеет обратный.

Классическими примерами числовых полей являются поля (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

СВОЙСТВО 1. Во всяком поле F справедлив закон сокращения

на общий множитель, отличный от нуля, т.е.

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a не равно 0 ⇒ b = c).

СВОЙСТВО 2. Во всяком поле F нет делителей нуля.

СВОЙСТВО 3. Кольцо (K,+, ·) является полем тогда и только

тогда, когда множество K \ {0} есть коммутативная группа относительно операции умножения.

СВОЙСТВО 4 . Конечное ненулевое коммутативное кольцо (K,+, ·) без делителей нуля является полем.

Частное элементов поля.

Пусть (F,+, ·)-поле.

Частным элементов a и b поля F, где b не равно 0,

называется такой элемент c ∈ F, что a = bc.

СВОЙСТВО 1. Для любых элементов a и b поля F, где b не равно 0, существует единственное частное a/b, причем a/b= ab−1.

СВОЙСТВО 2. ∀ a ∈ F \ {0}

a/a= e и ∀ a ∈ F a/e= a.

СВОЙСТВО 3. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

СВОЙСТВО 4. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}

СВОЙСТВО 5. ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ {0}

(a/b)/(c/d)=ad/bc

СВОЙСТВО 6. ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0}

СВОЙСТВО 7. ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0}

СВОЙСТВО 8. ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ {0}

Поле F, единица которого имеет конечный порядок p в группе (F, +) p.

Поле F единица, которого имеет бесконечный порядок в группе (F, +), называется полем характеристики 0.

8. Подполе (определение, виды, свойства, признаки)

Подполем поля (F,+, ·) называется подмножество S множества F, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в F, и само является полем относительно этих операций.

Приведем некоторые примеры подполей Q-подполе поля (R,+, ·);

R-подполе поля (C,+, ·);

справедливы следующие утверждения.

СВОЙСТВО 1. Нулевой элемент подполя S поля F совпадает с

нулевым элементом поля F.

СВОЙСТВО 2 . Для всякого элемента a подполя S поля F противоположный ему элемент в S совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в F.

СВОЙСТВО 3. Для любых элементов a и b подполя S поля F их

разность в S совпадает с a−b т.е. с разностью этих элементов в F.

СВОЙСТВО 4. Единица подполя S поля F совпадает с единицей

e поля F.

СВОЙСТВО 5 . Для всякого элемента a подполя S поля F, от-

личного от нуля, обратный к нему элемент в S совпадает с a−1, т.е. с элементом, обратным к a в F.

Признаки подполя.

ТЕОРЕМА 1 (первый признак подполя).

Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ {0} a−1 ∈ H. (4)

ТЕОРЕМА2 (второй признак подполя).

Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой

элемент, является подполем поля (F,+, ·) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\{0} a/b ∈ H. (6)

10. Отношение делимости в кольце Z

Утверждение: для любых элементов a,b,c коммутативного кольца на множестве R, справедливы следующие импликации:

1) а|b, b|c => a|c

2) a|b, a|c => a| (b c)

3) a|b => a|bc

для любого a, b Z справедливо:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b и b|a ó |a|=|b|

Разделить с остатком целое число а на целое число b , значит найти такие целые числа q и r, что можно представить a=b*q + r, 0≤r≥|b|, где q – неполное частное, r- остаток

Теорема: Если a и b Z , b≠0, то а можно разделить на b с остатком,причем неполное частное и остаток определяются однозначно.

Следствие,если a и b Z , b≠0, то b|a ó

11. НОД и НОК

Наибольший общий делитель(НОД) чисел Z называется некоторое число d, удовлетворяющее следующим условиям

1) d является общим делителем т.е. d| , d| …d|

2) d делится на любой общий делитель чисел т.е. d| , d| …d| => d| , d| …d|

Fsb4000 писал(а):

2. а)делимая абелева группа не имеет максимальных подгрупп

Думаю, хватит уже полных решений, да? Модераторы ведь зароют за то, что я Вам уже две задачи полностью расписал!!! Посему, чтобы их не злить, ограничимся идеями.

Ниже мы везде считаем, что натуральный ряд начинается с единицы.

Предположите, что --- делимая группа и --- максимальная подгруппа в . Рассмотрите

Докажите, что --- подгруппа в , содержащая . В силу максимальности возможны только два случая: или .

Рассмотрите каждый из случаев по отдельности и придите к противоречию. В случае возьмите и докажите, что

есть собственная подгруппа в , содержащая и не равная . В случае зафиксируйте и , такие что и покажите, что

является собственной подгруппой в , содержащей и не совпадающей с .

Добавлено спустя 10 минут 17 секунд:

Fsb4000 писал(а):

б) привести примеры делимых абелевых групп,могут ли они быть конечными?

Самый простой пример --- это . Ну или , --- что Вам больше нравится.

Насчёт конечности... конечно же делимая группа не может быть конечной (за исключением тривиального случая, когда группа состоит из одного нуля). Предположите, что --- конечная группа. Докажите, что для некоторого и всех . Потом возьмите такое и узрите, что уравнение неразрешимо при ненулевом .

Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:

Fsb4000 писал(а):

4. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R ()(), в котором нет максимальных идеалов.

Возьмите абелеву группу . Покажите, что она делимая. Умножение задайте следующим образом:

Покажите, что для выполняется всё, что надо.

Упс!.. А ведь ошибся я тут, похоже. Максимальный идеал есть, он равен . Н-да, надо ещё подумать... Но не буду я сейчас ничего думать, а поеду лучше на работу, в универ. Надо же Вам хоть что-то для самостоятельного решения оставить!

Добавлено спустя 10 минут 29 секунд:

Fsb4000 писал(а):

1.Доказать что произвольное кольцо с единицей содержит максимальный идеал.

по решению: 1. По лемме Цорна выберем минимальный положительный элемент, он и будет порождающим идеал.

Ну... не знаю, что Вы там за минимальный положительный элемент такой придумали. По моему, это полная чушь. Какой Вы там в произвольном кольце "положительный элемент" найдёте, если в этом кольце порядок не задан и непонятно, что там "положительное", а что "отрицательное"...

Но насчёт того, что надо применять лемму Цорна --- это правильная идея. Только применять её надо к множеству собственных идеалов кольца. Берёте это множество, упорядочиваете его обычным отношением включения и показываете, что данное упорядочивание индуктивно. Потом, по лемме Цорна, заключаете, что в этом множестве есть максимальный элемент. Этот максимальный элемент и будет максимальным идеалом!

Когда будете показывать индуктивность, то в качестве верхней грани для цепи собственных идеалов берите их объединение. Оно тоже будет идеалом, а собственным оно окажется потому, что единица в него не войдёт. И вот, кстати, в кольце без единицы доказательство через лемму Цорна не проходит, а всё дело именно в этом моменте

Добавлено спустя 34 минуты 54 секунды:

Alexiii писал(а):

Любое кольцо по определению имеет единицу,так что немыслимо писать "кольцо с единицей". Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный...

Нас учили, что наличие единицы в определение кольца не входит. Так что произвольное кольцо не обязано содержать единицу, а если она в нём всё-таки есть, то сказать про такое кольцо, что оно является "кольцом с единицей", более чем уместно!

Думаю, что порывшись в библиотеке, я найду кучу весьма солидных учебников по алгебре, которые подтверждают мою точку зрения. И в матэнциклопедии написано, что кольцо не обязано единицу иметь. Так что всё в условии задачи у автора темы правильно, нечего на него гнать!

Максимальным идеалом кольца, по определению , называется идеал, максимальный по включению среди собственных идеалов . Об этом не то что во многих, а просто во всех учебниках по алгебре написано, в которых теория колец присутствует. Так что насчёт максимальности у Вас ещё один гон совершенно не по теме!

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

Alexiii писал(а):

Вообще,как я понял из ваших комментов, "кольца с единицией" пишут только для того,чтобы исключить одноэлементный случай.

Совершенно неправильно поняли! "Кольца с единицей" пишут для того, чтобы обозначить наличие единицы в кольце

А колец без единицы полно. К примеру, множество чётных целых чисел с обычными сложением и умножением образуют такое кольцо.

Краткое описание

Определение. Кольцом называется алгебра К = ‹К, +, -, ·, 1› типа (2, 1, 2, 0), главные операции которой удовлетворяют следующим условиям:

Прикрепленные файлы: 1 файл

Кольцо. Определение. Примеры. Простейшие свойства колец. Гомоморфизм и изоморфизм колец.

Определение. Кольцом называется алгебра К = ‹К, +, -, ·, 1› типа (2, 1, 2, 0), главные операции которой удовлетворяют следующим условиям:

1. алгебра ‹К, +, -› есть абелева группа;
2. алгебра ‹К, ·, 1› есть моноид;
3. умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть для любых элементов a, b, c из К

(a + b) · c = a · c + b · c, c· (a + b) = c · a + c · b.

Основное множество К кольца К обозначается также через |К|. Элементы множества К называются элементами кольца К.

Опред. Группа ‹К, +, -› называется аддитивной группой кольца К. Нуль этой группы, то есть нейтральный элемент относительно сложения, называется нулем кольца и обозначается 0 или 0 К.

Опред. Моноид ‹К, ·, 1› называется мультипликативным моноидом кольца К. Элемент 1, обозначаемый также через 1 К, являющийся нейтральным относительно умножения, называется единицей кольца К.

Кольцо К называется коммутативным, если a · b = b · a для любых элементов a , b кольца. Кольцо К называется нулевым, если |К| = {0 К }.

Опред. Кольцо К называется областью целостности, если оно коммутативно, 0 К ≠ 1 К и для любых a, b Î К из a· b = 0 следует a = 0 или b = 0.

Опред. Элементы a и b кольца К называются делителями нуля, если a ≠ 0, b ≠ 0 или ba = 0. (Любая область целостности не имеет делителей нуля.)

Пример. Пусть К – множество всех действительных функций, определенных на множестве R действительных чисел. Сумма f + g, произведение f · g, функция

f(-1) и единичная функция 1 определяются: (f + g) (х) = f (х) + g(х);

(f · g)(х) = f(х) · g(х); (–f) (х) =–f (х); 1(х) = 1. Непосредственная проверка показывает, что алгебра ‹К, +, -, ·, 1› является коммутативным кольцом.

Простейшие свойства. Пусть К – кольцо. Так как алгебра ‹К, +, -› есть абелева группа, то для любых элементов a, b, из К уравнение b + x = a имеет единственное решение a + (-b), которое обозначается также через a – b.

1. если a + b = a, то b = 0;
2. если a + b = 0, то b = -a;
3. – (-a) = a;
4. 0 · a = a · 0 = a;
5. (-a)b = a(-b) = -(ab);
6. (-a)(-b) = a · b;
7. (a – b)c = ac – bc и c(a – b) = ca – cb.

Пусть К = ‹К, +, -, ◦, 1› и К` = ‹К`, +, -, ·, 1`› - кольца. Говорят, что отображение h множества К в К` сохраняет главные операции кольца К, если выполнены условия:

1. h(a+b)=h(a)+h(b) для любых a, b из кольца К;
2. h(-a)=-h(a) для любого a из К;
3. h(a·b) = h(a)◦h(b) для любых a, b из К;
4. h(1) = 1`.

Опред. Гомоморфизмом кольца К в (на) кольцо К` называется отображение множества К в (на) К`, сохраняющее все главные операции кольца К. Гомоморфизм кольца К на К` называется эпиморфизмом.

Опред. Гомоморфизм h кольца К на кольцо К` называется изоморфизмом, если h является инъективным отображением множества K на К`. Кольца К и К` называются изоморфными, если существуют изоморфизм кольца К на кольцо К`.