Полная механическая энергия тел и систем. Полная механическая энергия тела Механическая энергия механической системы равна

Системой частиц может быть любое тело, газ, механизм, Солнечная система и т. д.

Кинетическая энергия системы частиц, как упоминалось выше, определяется суммой кинетических энергий частиц, входящих в данную систему.

Потенциальная энергия системы складывается из собственной потенциальной энергии частиц системы, и потенциальной энергии системы во внешнем поле потенциальных сил .

Собственная потенциальная энергия обусловлена взаимным расположением частиц, принадлежащих данной системе (т.е. ее конфигурацией), между которыми действуют потенциальные силы, а также взаимодействием между отдельными частями системы. Можно показать, что работа всех внутренних потенциальных сил при изменении конфигурации системы равна убыли собственной потенциальной энергии системы:

. (3.23)

Примерами собственной потенциальной энергии являются энергия межмолекулярного взаимодействия в газах и жидкостях, энергия электростатического взаимодействия неподвижных точечных зарядов. Примером внешней потенциальной энергии является энергия тела, поднятого над по­верхностью Земли, так как она обусловлена действием на тело пос­тоянной внешней потенциальной силы - силы тяжести.

Разделим силы, действующие на систему частиц, на внутренние и внешние, а внутренние - на потенциальные и непотенциальные. Представим (3.10) в виде

Перепишем (3.24) с учетом (3.23):

Величина, сумма кинетической и собственной по­тенциальной энергии системы, является полной механической эне­ргией системы . Перепишем (3.25) в виде:

т.е., приращение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внутренних непотенциальных сил и всех внешних сил.

Если в (3.26) положить A внешн =0 (это равенство означает, что система является замкнутой) и (что равносильно отсутствию внутренних непотенциальных сил), то получим:

Оба равенства (3.27) являются выражениями закона сохранения механической энергии : механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой отсутствуют непотенциальные силы, сохраняется в процес­се движения, Такую систему называют консервативной. С достаточной степенью точности замкнутой консервативной системой можно считать Солнечную систему. При движении замкнутой консервативной си­стемы сохраняется полная механическая энергия, в то время как кинетическая и потенциальная энергия изме­няются. Однако эти изменения такие, что приращение одной из них в точности равно уменьшению другой.

Если замк­нутая система не является консервативной, т. е. в ней действуют непотенциальные силы, например, силы трения, то механическая энергия такой систе­мы, убывает, так как расходуется на работу против этих сил. Закон сохранения механической энергии является лишь отдельным проявлением существующего в природе универсального закона сохранения и превращения энер­гии: энергия никогда не создается и не уничтожается, она мо­жет только переходить из одной формы в другую или об­мениваться между отдельными частями материи. При этом понятие энергии расширяется введением понятий о новых формах ее кроме механической, - энергии электромагнитного поля, химической энергии, ядерной и др. Универсальный закон сохранения и превращения энер­гии охватыва­ет те физические явления, на которые законы Ньютона не распространяются. Этот закон имеет самостоятельное значение, так как получен на основе обобщений опытных фактов.

Пример 3.1 . Найти работу, совершаемую упругой силой, действующей на материальную точку вдоль некоторой оси х. Сила подчиняется закону , где х - смещение точки из начального положения (в котором.х=x 1), - единичный вектор в направлении оси х.

Найдем элементарную работу упругой силы при перемещении точки на величину dx. В формулу (3.1) для элементарной работы подставим выражение для силы:

.

Затем найдем работу силы, выполним интегрирование вдоль оси x в пределах от x 1 до x :

. (3.28)

Формулу (3.28) можно применить для определения потенциальной энергии сжатой или растянутой пружины, которая первоначально находится в свободном состоянии, т.е. x 1 =0 (коэффициент k называется коэффициеном жесткости пружины). Потенциальная энергия пружины при сжатии или растяжении равна работе против упругих сил, взятой с обратным знаком:

.

Пример 3.2 Применение теоремы об изменении кинетической энергии.

Найти минимальную скорость u, которую надо сообщить снаряду , чтобы он поднялся на высоту H над поверхностью Земли (сопротивлением атмосферного воздуха пренебречь ).

Направим ось координат от центра Земли по направлению полета снаряда. Начальная кинетическая энергия снаряда будет затрачена на работу против потенциальных сил гравитационного притяжения Земли. Формулу (3.10) с учетом формулы (3.3) можно представить в виде:

.

Здесь A – работа против силы гравитационного притяжения Земли (, g гравитационная постоянная, r – расстояние, отсчитываемое от центра Земли). Знак минус появляется из-за того, что проекция силы гравитационного притяжения на направление движения снаряда отрицательна. Интегрируя последнее выражение и учитывая, что T(R+H)=0, T(R) = mυ 2 /2 , получим:

Решив полученное уравнение относительно υ, найдем:

где - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Подведем некоторые итоги. В предыдущих параграфах было выяснено, что:

1) если отдельные тела системы движутся с некоторыми скоростями, то от них может быть получена работа за счет уменьшения кинетической энергии этих тел:

где равно сумме изменений кинетической энергии всех тел системы;

2) если в системе тел действуют какие-либо консервативные силы, то работа может быть получена также за счет уменьшения

потенциальной энергии этой стемы:

Поэтому можно сказать, что полная работа, которую может отдать такая система, будет всегда равна

Сумма потенциальной и кинетической энергий системы тел получила название полной энергии системы:

Полная энергия системы определяет ту работу, которую можно получить от данной системы тел при ее взаимодействии о какими-либо другими телами, не входящими в эту систему.

Определим сначала, что может происходить с энергией изолированной системы, если телам предоставить возможность свободно двигаться под действием внутренних сил.

Пусть тело массы находится на высоте над поверхностью Земли и имеет скорость (рис. 5.33). В этом положении у тела будет кинетическая энергия и потенциальная энергия Полная энергия системы будет равна

Допустим, что тело перешло на высоту и его скорость стала равной При этом движении сила тяжести совершит работу

Вся эта работа будет израсходована на увеличение кинетической энергии тела:

(Трения и внешних сил нет.) Подставим в это выражение значение работы и перегруппируем члены уравнения:

Левая часть найденного выражения определяет полную энергию системы для начального момента времени:

Правая же часть определяет полную энергию системы для конечного момента времени:

В результате можно записать:

Оказалось, что при движении тел изолированной системы только под действием внутренних сил полная энергия системы не изменяется. При движении тел произошло только превращение части потенциальной энергии в кинетическую. В этом и состоит закон сохранения энергии, который можно сформулировать следующим образом: в изолированной системе тел полная энергия остается постоянной во все время движения тел; в системе происходят лишь превращения энергии из одного вида в другой.

Отсюда же следует, что если на систему действуют какие-либо внешние силы, то изменения полной энергии системы равны работе этих внешних сил.

Если в системе действуют силы трения, то полная энергия системы при движении тел уменьшается. Она расходуется на работу против этих сил. Одновременно работа сил трения производит нагревание. Как уже говорилось ранее, при работе сил трения происходит превращение механического движения в тепловое. Количество выделившегося тепла при этом в точности равно убыли полной механической энергии системы.

Полная механическая энергия характеризует движение и взаимодействие тел, следовательно, зависит от скоростей и взаимного расположения тел.

Полная механическая энергия замкнутой механической системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии тел этой системы:

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии - фундаментальный закон природы.

В ньютоновской механике закон сохранения энергии формулируется следующим образом:

Полная механическая энергия изолированной (замкнутой) системы тел остаётся постоянной.

Другими словами:

Энергия не возникает из ничего и не исчезает никуда, она может только переходить из одной формы в другую.

Классическими примерами этого утверждения являются: пружинный маятник и маятник на нити (с пренебрежимо малым затуханием). В случае пружинного маятника в процессе колебаний потенциальная энергия деформированной пружины (имеющая максимум в крайних положениях груза) переходит в кинетическую энергию груза (достигающую максимума в момент прохождения грузом положения равновесия) и обратно. В случае маятника на нити потенциальная энергия груза переходит в кинетическую энергию и обратно.

2 Оборудование

2.1 Динамометр.

2.2 Штатив лабораторный.

2.3 Груз массой 100 г – 2шт.

2.4 Линейка измерительная.

2.5 Кусочек мягкой ткани или войлока.

3 Теоретическое обоснование

Схема экспериментальной установки приведена на рисунке 1.

Динамометр укреплен вертикально в лапке штатива. На штатив по­мещают кусочек мягкой ткани или войлока. При подвешивании к ди­намометру грузов растяжение пружины динамометра определяется положением указателя. При этом максимальное удлинение (или стати­ческое смещение) пружины х 0 возникает тогда, когда сила упругости пружины с жесткостью k уравновешивает силу тяжести груза массой т:

kx 0 =mg, (1)

где g = 9,81- ускорение свободного падения.

Следовательно,

Статическое смещение характеризует новое положение равновесия О" нижнего конца пружины (рис. 2).

Если груз оттянуть вниз на расстояние А от точки О" и отпустить в точке 1, то возникают периодические колебания груза. В точках 1 и 2, называемых точками поворота, груз останавливается, изменяя на­правление движения на противоположное. Поэтому в этих точках ско­рость груза v = 0.

Максимальной скоростью v m ax груз будет обладать в средней точ­ке О". На колеблющийся груз действуют две силы: постоянная сила тяжести mg и переменная сила упругости kx. Потенциальная энергия тела в гравитационном поле в произвольной точке с координатой х равна mgx. Потенциальная энергия деформированного тела соответственно равна .

При этом за нуль отсчета потенциальной энергии для обеих сил принята точка х = 0, соответствующая положению указателя для не­растянутой пружины.

Полная механическая энергия груза в произвольной точке скла­дывается из его потенциальной и кинетической энергии. Пренебрегая силами трения, воспользуемся законом сохранения полной механиче­ской энергии.

Приравняем полную механическую энергию груза в точке 2 с коор­динатой -(х 0 -А) и в точке О" с координатой -х 0 :

Раскрывая скобки и проводя несложные преобразования, приведем формулу (3) к виду

Тогда модуль максимальной скорости грузов

Жесткость пружины можно найти, измерив статическое смещение х 0 . Как следует из формулы (1),

Величина, которая приравнивается к половине от произведения массы данного тела на скорость этого тела в квадрате, называется в физике кинетической энергией тела или энергией действия. Изменение или непостоянство кинетической или движущей энергии тела за некоторое время будет равно работе, которая была совершена за данное время определенной силой, действующей на данное тело. Если работа какой-либо силы по замкнутой траектории любого типа будет равна нулю, то силу такого рода называют потенциальной силой. Работа таких потенциальных сил не будет зависеть от того, по какой траектории движется тело. Такая работа определяется начальным положением тела и его конечным положением. Точка начала отсчета или нуль для потенциальной энергии может быть выбрана абсолютно произвольно. Величина, которая будет равна работе, совершенной потенциальной силой для перемещения тела из данного положения в нулевую точку, называется в физике потенциальной энергией тела или энергией состояния.

Для различных видов сил в физике существуют различные формулы вычисления потенциальной или стационарной энергии тела.

Работа, совершенная потенциальными силами, будет равна изменению данной потенциальной энергии, которое должно быть взято по противоположному знаку.

Если сложить кинетическую и потенциальную энергию тела, то получится величина, которая называется полная механическая энергия тела. В положении, когда система нескольких тел является консервативной, для нее справедлив закон сохранения или постоянства механической энергии. Консервативная система тел - это такая система тел, которая подвержена действию только лишь тех потенциальных сил, что не зависят от времени.

Закон сохранения или постоянства механической энергии звучит так: «Во время любых процессов, которые происходят в некоторой системе тел, ее полная механическая энергия всегда остается неизменной». Таким образом, полная или вся механическая энергия любого тела или любой системы тел остается постоянной, если эта система тел является консервативной.

Закон сохранения или постоянства полной или всей механической энергии всегда инвариантен, то есть не меняется его форма записи, даже при изменении начальной точки отсчета времени. Это является следствием из закона однородности времени.

Когда на систему начинают действовать диссипативные силы, например, такие как то наступает постепенное уменьшение или убывание механической энергии этой замкнутой системы. Такой процесс называется диссипация энергии. Диссипативная система - это система, энергия в которой может уменьшаться с течением времени. Во время диссипации происходит полное превращение механической энергии системы в другую. Это полностью соответствует всеобщему закону энергии. Таким образом, в природе нет полностью консервативных систем. Обязательно в любой системе тел или будет иметь место та или иная диссипативная сила.

Цель этой статьи - раскрыть сущность понятия «механическая энергия». Физика широко использует это понятие как практически, так и теоретически.

Работа и энергия

Механическую работу можно определить, если известны сила, действующая на тело, и перемещение тела. Существует и другой способ для расчета механической работы. Рассмотрим пример:

На рисунке изображено тело, которое может находиться в различных механических состояниях (I и II). Процесс перехода тела из состояния I в состояние II характеризуется механической работой, то есть при переходе из состояния I в состояние II тело может осуществить работу. При осуществлении работы меняется механическое состояние тела, а механическое состояние можно охарактеризовать одной физической величиной - энергией.

Энергия - это скалярная физическая величина всех форм движения материи и вариантов их взаимодействия.

Чему равна механическая энергия

Механической энергией называют скалярную физическую величину, которая определяет способность тела выполнять работу.

А = ∆Е

Поскольку энергия - это характеристика состояния системы в определенный момент времени, то работа - это характеристика процесса изменения состояния системы.

Энергия и работа обладают одинаковыми единицами измерения: [А] = [Е] = 1 Дж.

Виды механической энергии

Механическая свободная энергия делится на два вида: кинетическую и потенциальную.

Кинетическая энергия - это механическая энергия тела, которая определяется скоростью его движения.

Е k = 1/2mv 2

Кинетическая энергия присуща подвижным телам. Останавливаясь, они выполняют механическую работу.

В различных системах отсчета скорости одного и того же тела в произвольный момент времени могут быть разными. Поэтому кинетическая энергия - относительная величина, она обуславливается выбором системы отсчета.

Если на тело во время движения действует сила (или одновременно несколько сил), кинетическая энергия тела меняется: тело ускоряется или останавливается. При этом работа силы или работа равнодействующей всех сил, которые приложены к телу, будет равняться разнице кинетических энергий:

A = E k1 - E k 2 = ∆Е k

Этому утверждению и формуле дали название - теорема о кинетической энергии .

Потенциальной энергией именуют энергию, обусловленную взаимодействием между телами.

При падении тела массой m с высоты h сила притяжения выполняет работу. Поскольку работа и изменение энергии связаны уравнением, можно записать формулу для потенциальной энергии тела в поле силы тяжести :

E p = mgh

В отличие от кинетической энергии E k потенциальная E p может иметь отрицательное значение, когда h<0 (например, тело, лежащее на дне колодца).

Еще одним видом механической потенциальной энергии является энергия деформации. Сжатая на расстояние x пружина с жесткостью k имеет потенциальную энергию (энергию деформации):

E p = 1/2 kx 2

Энергия деформации нашла широкое применение на практике (игрушки), в технике - автоматы, реле и другие.

E = E p + E k

Полной механической энергией тела именуют сумму энергий: кинетической и потенциальной.

Закон сохранения механической энергии

Одни из самых точных опытов, которые провели в середине XIX века английский физик Джоуль и немецкий физик Майер, показали, что количество энергии в замкнутых системах остается неизменной. Она лишь переходит от одних тел к другим. Эти исследования помогли открыть закон сохранения энергии :

Полная механическая энергия изолированной системы тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел между собой.

В отличие от импульса, который не имеет эквивалентной формы, энергия имеет много форм: механическую, тепловую, энергию молекулярного движения, электрическую энергию с силами взаимодействия зарядов и другие. Одна форма энергии может переходить в другую, например, в тепловую кинетическая энергия переходит в процессе торможения автомобиля. Если сил трения нет, и тепло не образуется, то полная механическая энергия не утрачивается, а остается постоянной в процессе движения или взаимодействия тел:

E = E p + E k = const

Когда действует сила трения между телами, тогда происходит уменьшение механической энергии, однако и в этом случае она не теряется бесследно, а переходит в тепловую (внутреннюю). Если над замкнутой системой выполняет работу внешняя сила, то происходит увеличение механической энергии на величину выполненной этой силой работы. Если же замкнутая система выполняет работу над внешними телами, тогда происходит сокращение механической энергии системы на величину выполненной ею работы.
Каждый вид энергии может превращаться полностью в произвольный иной вид энергии.