Сохранение кинетической энергии. Кинетическая и потенциальная энергия (2) - Реферат

За счет его нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия - это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы . Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином .

Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль .

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными .

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя ; таким образом, кинетическая энергия - часть полной энергии, обусловленная движением .

Кинетическая энергия

Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, и запишем уравнение движения :

Есть результирующая всех сил , действующих на тело. Скалярно умножим уравнение на перемещение частицы . Учитывая, что , Получим:

- момент инерции тела

- угловая скорость тела.

Закон сохранения энергии.

Зако́н сохране́ния эне́ргии - фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что энергия изолированной (замкнутой) физической системы сохраняется с течением времени. Другими словами, энергия не может возникнуть из ничего и не может исчезнуть в никуда, она может только переходить из одной формы в другую.

С фундаментальной точки зрения, согласно теореме Нётер , закон сохранения энергии является следствием однородности времени и в этом смысле является универсальным, то есть присущим системам самой разной физической природы. Другими словами, для каждой конкретной замкнутой системы, вне зависимости от её природы можно определить некую величину, называемую энергией, которая будет сохраняться во времени. При этом выполнение этого закона сохранения в каждой конкретно взятой системе обосновывается подчинением этой системы своим специфическим законам динамики, вообще говоря различающимся для разных систем.

Однако в различных разделах физики по историческим причинам закон сохранения энергии формулируется по-разному, в связи с чем говорится о сохранении различных видов энергии. Например, в термодинамике закон сохранения энергии выражается в виде первого начала термодинамики .

Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то более правильным является его именование не законом , а принципом сохранения энергии.

С математической точки зрения закон сохранения энергии эквивалентен утверждению, что система дифференциальных уравнений , описывающая динамику данной физической системы, обладает первым интегралом движения, связанным с

Энергия - важнейшее понятие в механике. Что такое энергия. Существует множество определений, и вот одно из них.

Что такое энергия?

Энергия - это способность тела совершать работу.

Рассмотрим тело, которое двигалось под действием каких-то сил изменило свою скорость с v 1 → до v 2 → . В этом случае силы, действующие на тело, совершили определенную работу A .

Работа всех сил, действующих на тело, равна работе равнодействующей силы.

F р → = F 1 → + F 2 →

A = F 1 · s · cos α 1 + F 2 · s · cos α 2 = F р cos α .

Установим связь между изменением скорости тела и работой, совершенной действующими на тело силами. Для простоты будем считать, что на тело действует одна сила F → , направленная вдоль прямой линии. Под действием этой силы тело движется равноускоренно и прямолинейно. В этом случае векторы F → , v → , a → , s → совпадают по направлению и их можно рассматривать как алгебраические величины.

Работа силы F → равна A = F s . Перемещение тела выражается формулой s = v 2 2 - v 1 2 2 a . Отсюда:

A = F s = F · v 2 2 - v 1 2 2 a = m a · v 2 2 - v 1 2 2 a

A = m v 2 2 - m v 1 2 2 = m v 2 2 2 - m v 1 2 2 .

Как видим, работа, совершенная силой, пропорционально изменению квадрата скорости тела.

Определение. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия тела равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Кинетическая энергия - энергия движения тела. При нулевой скорости она равна нулю.

Теорема о кинетической энергии

Вновь обратимся к рассмотренному примеру и сформулируем теорему о кинетической энергии тела.

Теорема о кинетической энергии

Работа приложенной к телу силы равна изменению кинетической энергии тела. Данное утверждение справедливо и тогда, когда тело движется под действием изменяющейся по модулю и направлению силы.

A = E K 2 - E K 1 .

Таким образом, кинетическая энергия тела массы m , движущегося со скоростью v → , равна работе, которую сила должна совершить, чтобы разогнать тело до этой скорости.

A = m v 2 2 = E K .

Чтобы остановить тело, нужно совершить работу

A = - m v 2 2 =- E K

Кинетическая энергия - это энергия движения. Наряду с кинетической энергией есть еще потенциальная энергия, то есть энергия взаимодействия тел, которая зависит от их положения.

Например, тело поднято над поверхностью земли. Чем выше оно поднято, тем больше будет потенциальная энергия. Когда тело падает вниз под действием силы тяжести, эта сила совершает работу. Причем работа силы тяжести определяется только вертикальным перемещением тела и не зависит от траектории.

Важно!

Вообще о потенциальной энергии можно говорить только в контексте тех сил, работа которых не зависит от формы траектории тела. Такие силы называются консервативными.

Примеры консервативных сил: сила тяжести, сила упругости.

Когда тело движется вертикально вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу.

Рассмотрим пример, когда шар переместился из точки с высотой h 1 в точку с высотой h 2 .

При этом сила тяжести совершила работу, равную

A = - m g (h 2 - h 1) = - (m g h 2 - m g h 1) .

Эта работа равна изменению величины m g h , взятому с противоположным знаком.

Величина Е П = m g h - потенциальна энергия в поле силы тяжести. На нулевом уровне (на земле) потенциальная энергия тела равна нулю.

Определение. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия - часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Потенциальная энергия зависит от положения точек, составляющих систему.

Можно говорить о потенциальной энергии в поле силы тяжести, потенциальной энергии сжатой пружины и т.д.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

A = - (E П 2 - E П 1) .

Ясно, что потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня (начала координат оси OY). Подчеркнем, что физический смысл имеет изменение потенциальной энергии при перемещении тел друг относительно друга. При любом выборе нулевого уровня изменение потенциальной энергии будет одинаковым.

При расчете движения тел в поле гравитации Земли, но на значительных расстояниях от нее, во внимание нужно принимать закон всемирного тяготения (зависимость силы тяготения от расстояния до цента Земли). Приведем формулу, выражающую зависимость потенциальной энергии тела.

E П = - G m M r .

Здесь G - гравитационная постоянная, M - масса Земли.

Потенциальная энергия пружины

Представим, что в первом случае мы взяли пружину и удлинили ее на величину x . Во втором случае мы сначала удлинили пружину на 2 x , а затем уменьшили на x . В обоих случаях пружина оказалась растянута на x , но это было сделано разными способами.

При этом работа силы упругости при изменении длины пружины на x в обоих случаях была одинакова и равна

A у п р = - A = - k x 2 2 .

Величина E у п р = k x 2 2 называется потенциальной энергией сжатой пружины. Она равна работе силы упругости при переходе из данного состояния тела в состояние с нулевой деформацией.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Если в замкнутой системе не действуют силы, трения и силы сопротивления, то сумма кинетической и потенциальной энергии всех тел системы остается величиной постоянной .

Рассмотрим пример проявления этого закона. Пусть тело, поднятое над Землей, обладает потенциальной энергией Е 1 = mgh 1 и скоростью v 1 направленной вниз. В результате свободного падения тело переместилось в точку с высотой h 2 (E 2 = mgh 2), при этом скорость его возросла от v 1 до v 2 . Следовательно, его кинетическая энергия возросла от

Запишем уравнение кинематики:

Умножим обе части равенства на mg, получим:

После преобразования получим:

Рассмотрим ограничения, которые были сформулированы в законе сохранения полной механической энергии.

Что же происходит с механической энергией, если в системе действует сила трения?

В реальных процессах, где действуют силы трения, наблюдается отклонение от закона сохранения механической энергии. Например, при падении тела на Землю сначала кинетическая энергия тела возрастает, поскольку увеличивается скорость. Возрастает и сила сопротивления, которая увеличивается с возрастанием скорости. Со временем она будет компенсировать силу тяжести, и в дальнейшем при уменьшении потенциальной энергии относительно Земли кинетическая энергия не возрастает.

Это явление выходит за рамки механики, поскольку работа сил сопротивления приводит к изменению температуры тела. Нагревание тел при действии трения легко обнаружить, потерев ладони друг о друга.

Таким образом, в механике закон сохранения энергии имеет довольно жесткие границы.

Изменение тепловой (или внутренней) энергии возникает в результате работы сил трения или сопротивления. Оно равно изменению механической энергии. Таким образом, сумма полной энергии тел при взаимодействии есть величина постоянная (с учетом преобразования механической энергии во внутреннюю).

Энергия измеряется в тех же единицах, что и работа. В итоге отметим, что изменить механическую энергию можно только одним способом - совершить работу.

Энегрия - наиболее универсальная величина для описания физических явлений.
Энергия - максимальное количество работы, которое способно совершить тело.
Есть несколько видов энергии. Например, в механике:

Потенциальная энергия тяготения,
определяется высотой h .

- Потенциальная энергия упругой деформации,
определяется величиной деформации х .

- Кинетическая энергия - энергия движения тел,
определяется скоростью тела v .

Энергия может передаваться от одних тел к другим, а также превращаться из одного вида в другой.

- Полная механическая энергия.

Закон сохранения энергии : в замкнутой системе тел полная энергия не изменяется при любых взаимодействиях внутри этой системы тел. Закон накладывает ограничения на протекание процессов в природе. Природа не допускает появление энергии ниоткуда и исчезание в никуда. Возможно оказывается только так: сколько одно тело теряет энергии, столько другое приобретает; сколько убывает одного вида энергии, столько к другому виду прибавляется.
В механике для определения видов энергии необходимо обратить внимание на три величины: высоту подъема тела над Землей h, деформацию х , скорость тела v .

Гл.2-3, §9-11

План лекции

Работа и мощность

Закон сохранения импульса.

Энергия. Потенциальная и кинетическая энергии. Закон сохранения энергии.

1. Работа и мощность

Когда под действием некоторой силы тело совершает перемещение, то действие силы характеризуется величиной, которая называется механической работой.

Механическая работа - мера действия силы, в результате которого тела совершают перемещение.

Работа постоянной силы. Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы , составляющей некоторый угол  с направлением перемещения (рис.1), работа равна произведению этой силы на перемещение точки приложения силы и на косинус угла  между векторами и ; или работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

Работа переменной силы. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число малых участков так, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую в любой точке данного участка силу - постоянной.

Элементарная работа (т.е. работа на элементарном участке ) равна , а вся работа переменной силы на всем пути S находится интегрированием: .

В качестве примера работы переменной силы рассмотрим работу, совершаемую при деформации (растяжении) пружины, подчиняющейся закону Гука.

Если начальная деформация x 1 =0, то .

При сжатии пружины совершается такая же работа.

Графическое изображение работы (рис.3).

На графиках работа численно равна площади заштрихованных фигур.

Для характеристики быстроты совершения работы вводят понятие мощности.

Мощность постоянной силы численно равна работе, совершаемой этой силой за единицу времени.

1 Вт- это мощность силы, которая за 1 с совершает 1 Дж работы.

В случае переменной мощности (за малые одинаковые промежутки времени совершается различная работа) вводится понятие мгновенной мощности:

где
скорость точки приложения силы.

Т.о. мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки её приложения.

Т.к.

2. Закон сохранения импульса.

Механической системой называется совокупность тел, выделенная для рассмотрения. Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать, как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствие с этим силы, действующие на тела системы, подразделяют на внутренние и внешние.

Внутренними называются силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой

Внешними называются силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих данной системе.

Замкнутой (или изолированной) называется система тел, на которую не действуют внешние силы.

Для замкнутых систем оказываются неизменными (сохраняются) три физических величины: энергия, импульс и момент импульса. В соответствии с этим имеют место три закона сохранения: энергии, импульса, момента импульса.

Рассмотрим систему, состоящую из 3-х тел, импульсы которых
и на которые действуют внешние силы (рис. 4).Согласно 3 закону Ньютона, внутренние силы попарно равны и противоположно направлены:

Внутренние силы:

Запишем основное уравнение динамики для каждого из этих тел и сложим почленно эти уравнения

Для N тел:

.

Сумма импульсов тел, составляющих механическую систему, называется импульсом системы:

Т.о., производная по времени импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему,

Для замкнутой системы
.

Закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Из этого закона следует неизбежность отдачи при стрельбе из любого орудия. Пуля или снаряд в момент выстрела получают импульс, направленный в одну сторону, а винтовка или орудие получают импульс, направленный противоположно. Для уменьшения этого эффекта применяют специальные противооткатные устройства, в которых кинетическая энергия орудия превращается в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию противооткатного устройства.

Закон сохранения импульса лежит в основе движения судов (подводных лодок) при помощи гребных колес и винтов, и водометных судовых двигателей (насос всасывает забортную воду и отбрасывает ее за корму). При этом некоторое количество воды отбрасывается назад, унося с собой определенный импульс, а судно приобретает такой же импульс, направленный вперед. Этот же закон лежит в основе реактивного движения.

Абсолютно неупругий удар - столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. При таком ударе механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю энергию соударяющихся тел, т.е. закон сохранения энергии не выполняется, выполняется только закон сохранения импульса.

,

Теория абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов используется в теоретической механике для расчета напряжений и деформаций, вызванных в телах ударными силами. При решении многих задач удара часто опираются на результаты разнообразных стендовых испытаний, анализируя и обобщая их. Теория удара широко используется при расчетах взрывных процессов; применяется в физике элементарных частиц при расчетах столкновений ядер, при захвате частиц ядрами и в других процессах.

Большой вклад в теорию удара внёс российский академик Я.Б.Зельдович, который, разрабатывая в 30-х годах физические основы баллистики ракет, решил сложную задачу удара тела, летевшего с большой скоростью по поверхности среды.