Энергия шара формула. Энергия электрического поля

Глава 8

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

§1.Электростатиче­ская энергия зарядов. Однородный шар

§2.Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники

§З.Электростатическая энергия ионного кристалла

§4.Электростатиче­ская энергия ядра

§5.Энергия в электро­статическом поле

§6.Энергия точечного заряда

Повторить: гл. 4 (вып. 1) «Сохранение энергии»; гл. 13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»

§ 1. Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар

Одно из самых интересных и полезных от­крытий в механике -это закон сохранения энер­гии. Зная формулы для кинетической и потен­циальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состоя­ниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.

Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды q 1 и q 2 , разделенные про­межутком r 12 . У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчиты­вали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна

Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, дей­ствующих со стороны всех прочих зарядов. От­сюда следует, что полная энергия системы не­скольких зарядов есть сумма членов, выражаю­щих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если q i и q j - - какие-то два из зарядов, а расстояние между ними r ij (фиг. 8.1),

Фиг. 8.1. Электростатическая анергия системы частиц есть сумма электростатических энер­гий каждой пары.

то энергия именно этой пары равна

Полная электростатическая энергия U есть сумма энергий все­возможных пар зарядов:

Если распределение задается плотностью заряда r, то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.

Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Пер­вая - применение понятия энергии к электростатическим зада­чам; вторая - разные способы оценки величины энергии. По­рой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину со­ответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно за­ряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.

Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последова­тельно друг на друга сферические слои бесконечно малой тол­щины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое ко­личество электричества и размещаем его тонким слоем от rдо r+dr. Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не добе­ремся до заданного радиуса а (фиг. 8.2). Если Q r -- это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса r, то работа, требуемая для доставки на шар заряда dQ, равна

Фиг. 8.2. Энергию однород­но заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.

Если плотность заряда внутри шара есть r, то заряд Q r равен

Уравнение (8.4) превращается в

Полная энергия, требуемая на то, чтобы накопить полный шар зарядов, равна интегралу по dU от r=0 до r=а, т.е.

а если мы желаем выразить результат через полный заряд Q шара, то

Энергия пропорциональна квадрату полного заряда и об­ратно пропорциональна радиусу. Можно представить (8.7) и так: среднее значение (1/r ij) по всем парам точек внутри шара равно 6 / 5 а.

§ 2. Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники

Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд Q был снят с одной обкладки конден­сатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность потенциалов, равная

где С - емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы посту­пали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен перено­сом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями dQ. Работа, требуемая для переноса заряда dQ ,равна

Взяв V из (8.8), напишем

Или, интегрируя от Q=0 до конечного заряда Q, получаем

Эту энергию можно также записать в виде

Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна

мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы

Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя с полным зарядом Q; получается 5 / 6 энер­гии однородно заряженного шара [уравнение (8.7)].

Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии. Рассмотрим два вопроса. Какова сила, действующая между обкладками конденсатора? Какой вращательный (крутя­щий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный про­водник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим выражением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).

Применим этот метод для определения силы, действующей между двумя обкладками плоского конденсатора. Если мы пред­ставим, что промежуток между пластинами расширился на не­большую величину Dz, то тогда механическая работа, произво­димая извне для того, чтобы раздвинуть обкладки, была бы равна

где F - сила, действующая между обкладками. Эта работа обя­зана быть равной изменению электростатической энергии кон­денсатора, если только заряд конденсатора не изменился.

Согласно уравнению (8.9), энергия конденсатора первона­чально была равна

Изменение в энергии (если мы не допускаем изменения величи­ны заряда) тогда равно

Приравнивая (8.12) и (8.13), получаем

что может также быть записано в виде

Ясно, эта сила здесь возникает от притяжения зарядов на обкладках; мы видим, однако, что заботиться о том, как там они рас­пределены, нам нечего; единственное, что нам нужно, - это учесть емкость С.

Легко понять, как обобщить эту идею на проводники произ­вольной формы и на прочие составляющие силы. Заменим в урав­нении (8.14) F той составляющей, которая нас интересует, а Dz - малым смещением в соответствующем направлении. Или если у нас есть электрод, насаженный на какую-то ось, и мы хо­тим знать вращательный момент t, то запишем виртуальную ра­боту в виде

где Dq - небольшой угловой поворот. Конечно, теперь D(1/C) должно быть изменением 1/С, отвечающим повороту на Dq.

Фиг. 8.3. Чему равен вращатель­ный момент, действующий на переменный конденсатор?

Таким способом мы можем определить вращательный момент, действующий на подвижные пластины переменного конденса­тора, показанного на фиг. 8.3.

Вернемся к частному случаю плоского конденсатора; мы можем взять формулу для емкости, выведенную в гл. 6:

где А- площадь каждой обкладки. Если промежуток уве­личится на Dz, то

Из (8.14) тогда следует, что сила притяжения между двумя обкладками равна

Взглянем на уравнение (8.17) повнимательнее и подумаем, нельзя ли сказать, как возникает эта сила. Если заряд на одной из обкладок мы запишем в виде

то (8.17) можно будет переписать так:

Или поскольку поле между пластинами равно

Можно было сразу догадаться, что сила, действующая на одну из пластин, будет равна заряду Q этой пластины, умножен­ному на поле, действующее на заряд. Но что удивляет, так это множитель 1 / 2 . Дело в том, что Е 0 - это не то поле, которое действует на заряды. Если вообразить, что заряд на поверх­ности пластины занимает какой-то тонкий слой (фиг. 8.4), то поле будет меняться от нуля на внутренней границе слоя до Е 0 в пространстве снаружи пластин. Среднее поле, действующее на поверхностные заряды, равно Е 0 /2. Вот отчего в (8.18) стоит множитель 1 / 2 .

Вы должны обратить внимание на то, что, рассчитывая вир­туальную работу, мы предположили, что заряд конденсатора постоянен, что конденсатор не был электрически связан с дру­гими предметами и полный заряд не мог изменяться.

Фиг. 8.4. Поле у поверхности проводника меняется от нуля до E 0 =s/e 0 , когда пересечен слой по­верхностного заряда. 1 - проводящая пластина; 2 - слой поверхностного заряда.

А теперь пусть мы предположили, что при виртуальных пе­ремещениях конденсатор поддерживается при постоянной раз­ности потенциалов. Тогда мы должны были бы взять

и вместо (8.15) мы бы имели

что приводит к силе, равной по величине той, что была получена в уравнении (8.15) (так как V = Q/C), но с противоположным знаком!

Конечно, сила, действующая между пластинами конденса­тора, не меняет свой знак, когда мы отсоединяем конденсатор от источника электричества. Кроме того, мы знаем, что две плас­тины с разноименными электрическими зарядами должны при­тягиваться. Принцип виртуальной работы во втором случае был применен неправильно, мы не приняли во внимание виртуаль­ную работу, производимую источником, заряжающим конден­сатор. Это значит, что для того, чтобы удержать потенциал при постоянном значении V, когда меняется емкость, источник элект­ричества должен снабдить конденсатор зарядом VDC. Но этот заряд поступает при потенциале V, так что работа, выполняе­мая электрической системой, удерживающей заряд постоянным, равна V 2 DC. Механическая работа.FDz плюс эта электрическая работа V 2 DC вместе приводят к изменению полной энергии кон­денсатора на 1 / 2 V 2 DC. Поэтому на механическую работу, как и прежде, приходится F Dz=- 1 / 2 V 2 DC.

§ 3. Электростатическая энергия ионного кристалла

Рассмотрим теперь применение понятия электростатической энергии в атомной физике. Мы не можем запросто измерять силы, действующие между атомами, но часто нас интересует разница в энергиях двух расстановок атомов (к примеру, энергия химических изменений). Так как атомные силы в основе своей - это силы электрические, то и химическая энергия в главной своей части - это просто электростатиче­ская энергия.

Рассмотрим, например, электростатическую энергию ионной решетки. Ионный кристалл, такой, как NaCl, состоит из поло­жительных и отрицательных ионов, которые можно считать жесткими сферами. Они электрически притягиваются, пока не соприкоснутся; затем вступает в дело сила отталкивания, кото­рая быстро возрастает, если мы попытаемся сблизить их теснее.

Для первоначального приближения вообразим себе совокуп­ность жестких сфер, представляющих атомы в кристалле соли. Строение такой решетки было определено с помощью дифрак­ции рентгеновских лучей. Эта решетка кубическая - что-то вроде трехмерной шахматной доски. Сечение ее изображено на фиг. 8.5. Промежуток между ионами 2,81 Е (или 2,81·10 -8 см).

Если наше представление о системе правильно, мы должны уметь проверить его, задав следующий вопрос: сколько понадо­бится энергии, чтобы разбросать эти ионы, т. е. полностью раз­делить кристалл на ионы? Эта энергия должна быть равна теп­лоте испарения соли плюс энергия, требуемая для диссоциации молекул на ионы. Полная энергия разделения NaCl на ионы, как следует из опыта, равна 7,92 эв на молекулу.

Фиг. 8.5. Поперечный разрез кристалла соли в масштабе нескольких атомов.

В двух перпендикулярных к плоскости рисунка сечениях будет такое же шахматное расположение ионов Na и Сl (см. вып. 1, фиг. 1.7).

Пользуясь коэффициентом перевода

и числом Авогадро (количество молекул в грамм-молекуле)

можно представить энергию испарения в виде

Излюбленная единица энергии, которой пользуются физико-химики,- килокалория, равная 4190 дж; так что 1 эв на молеку­лу - это все равно что 23 ккал/моль. Химик сказал бы поэтому, что энергия диссоциации NaCl равна

Можем ли мы получить эту химическую энергию теоретиче­ски, подсчитывая, сколько работы понадобится для того, чтобы распотрошить кристалл? По нашей теории она равна сумме по­тенциальных энергий всех пар ионов. Проще всего составить себе представление об этой энергии, выбрав какой-то один ион и подсчитав его потенциальную энергию по отношению ко всем прочим ионам. Это даст удвоенную энергию на один ион, потому что энергия принадлежит парам зарядов. Если нам нужна энер­гия, связанная с одним каким-то ионом, то мы должны взять полусумму. Но на самом деле нам нужна энергия на молекулу, содержащую два иона, так что вычисляемая нами сумма прямо даст нам энергию на молекулу.

Энергия иона по отношению к его ближайшему соседу равна -e 2 /a, где e 2 =q 2 e /4pe 0 , а а - промежуток между центрами ио­нов. (Мы рассматриваем одновалентные ионы.) Эта энергия рав­на -5,12 эв; мы уже видим, что ответ получается правильного порядка величины. Но нам еще предстоит подсчитать бесконеч­ный ряд членов.

Начнем со сложения энергий всех ионов, лежащих по пря­мой. Считая ион, отмеченный на фиг. 8.5 значком Na, нашим выделенным ионом, сперва рассмотрим те ионы, которые лежат на одной с ним горизонтали. Там есть два ближайших к нему иона хлора с отрицательными зарядами, на расстоянии я от Na каждый. Затем идут два положительных иона на расстояниях 2а и т. д. Обозначая эту сумму энергий U 1 , напишем

Ряд сходится медленно, так что численно его оценить трудно,

но известно, что он равен ln2. Значит,

Теперь перейдем к ближайшей линии, примыкающей сверху. Ближайший ион отрицателен и находится на расстоянии а. Затем стоят два положительных на расстоянияхЦ2а. Следующая пара - на расстоянии Ц5а, следующая- наЦ10а и т. д. Для всей линии получается ряд

Таких линий четыре: выше, ниже, спереди и сзади. Затем име­ются четыре линии, которые являются ближайшими по диагона­ли, и т. д. и т. д.

Если вы терпеливо произведете подсчеты для всех линий и затем все сложите, то увидите, что итог таков:

Это число немного больше того, что было получено в (8.20) для первой линии. Учитывая, что е 2 /а=- 5,12 эв, мы получим

Наш ответ приблизительно на 10% больше экспериментально наблюдаемой энергии. Он показывает, что наше представление о том, что вся решетка скрепляется электрическими кулоновскими силами, в основе своей правильно. Мы впервые получили спе­цифическое свойство макроскопического вещества из наших по­знаний в атомной физике. Со временем мы добьемся гораздо большего. Область науки, пробующая понять поведение боль­ших масс вещества на языке законов атомного поведения, назы­вается физикой твердого тела.

А как же с ошибкой в наших расчетах? Почему они не до конца верны? Мы не учли отталкивание между ионами на близ­ких расстояниях. Это ведь не совершенно жесткие сферы, так что, сблизясь, они немного сплющиваются. Но они не очень мягкие и сплющиваются самую чуточку. Все же какая-то энер­гия уходит на эту деформацию, и вот, когда ионы разлетаются, эта энергия высвобождается. Энергия, которая на самом деле нужна для того, чтобы развести все ионы врозь, чуть меньше той, которую мы вычислили; отталкивание помогает преодолеть электростатическое притяжение.

А есть ли возможность как-то прикинуть долю этого оттал­кивания? Да, если мы знаем закон силы отталкивания. Мы еще не умеем пока анализировать детали механизма отталкивания, но некоторое представление о его характеристиках мы можем получить из макроскопических измерений. Измеряя сжимае­мость кристалла как целого, можно получить количественное представление о законе отталкивания между ионами, а отсю­да - о его вкладе в энергию. Таким путем было обнаружено, что вклад этот должен составлять 1/9,4 часть вклада от электро­статического притяжения и иметь, естественно, противополож­ный знак. Если этот вклад мы вычтем из чисто электростатиче­ской энергии, то получим для энергии диссоциации на молекулу число 7,99 эв. Это намного ближе к наблюдаемому результату 7,92 эв, но все еще не находится в совершенном согласии. Есть еще одна вещь, которую мы не учли: мы не сделали никаких до­пущений о кинетической энергии колебаний кристалла. Если сделать поправку на этот эффект, то сразу возникнет очень хоро­шее согласие с экспериментальной величиной. Значит, наши представления правильны: главный вклад в энергию кристалла, такого, как NaCl, является электростатическим.

§ 4. Электростатическая энергия ядра

Обратимся теперь к другому примеру электростатической энергии в атомной физике - к электростатической энергии атомного ядра. Прежде чем заняться этим вопросом, мы должны рассмотреть некоторые свойства тех основных сил (называемых ядерными силами), которые скрепляют между собой протоны и нейтроны в ядре. Первое время после открытия ядер - и про­тонов с нейтронами, которые их составляют,- надеялись, что закон сильной, неэлектрической части силы, действующей, на­пример, между одним протоном и другим, будет иметь какой-нибудь простой вид, подобный, скажем, закону обратных квад­ратов в электричестве. Если бы удалось определить этот закон сил и, кроме того, сил, действующих между протоном и нейт­роном и между нейтроном и нейтроном, то тогда можно было бы теоретически описать все поведение этих частиц в ядрах. Поэтому начала разворачиваться большая программа изучения рассеяния протонов в надежде отыскать закон сил, действую­щих между ними; но после тридцатилетних усилий ничего про­стого не возникло. Накопился заметный багаж знаний о силах, действующих между протоном и протоном, но при этом обнару­жилось, что эти силы сложны настолько, насколько возможно себе представить.

Под словами «сложны настолько, насколько возможно» мы понимаем, что силы зависят от всех величин, от каких они могли бы зависеть.

Во-первых, сила не простая функция расстояния между протонами. На больших расстояниях существует притяжение, на меньших - отталкива­ние.

Фиг. 8.6. Сила взаимодейст­вия двух протонов зависит от всех мыслимых параметров.

Зависимость от рас­стояния - это некоторая сложная функция, все еще не очень хорошо известная. Во-вторых, сила зави­сит от ориентации спина протонов. У протонов есть спин, а два взаимодействующих протона могут вращаться либо в одном и том же, либо в про­тивоположных направлениях. И сила, когда спины парал­лельны, отличается от того, что бывает, когда спины антипа­раллельны (фиг. 8.6, а и б). Разница велика; пренебречь ею нельзя.

В-третьих, сила заметно изменяется, смотря по тому, па­раллелен или нет промежуток между протонами их спинам (фиг. 8.6, в и г) или же он им перпендикулярен (фиг. 8.6, а и б).

В-четвертых, сила, как и в магнетизме, зависит (и даже зна­чительно сильнее) от скорости протонов. И эта скоростная зави­симость силы отнюдь не релятивистский эффект; она велика да­же тогда, когда скорости намного меньше скорости света. Бо­лее того, эта часть силы зависит, кроме величины скорости, и от других вещей. Скажем, когда протон движется невдалеке от другого протона, сила меняется от того, совпадает ли орби­тальное движение по направлению со спиновым вращением (фиг. 8.6, д), или эти два направления противоположны (фиг. 8.6, е). Это то, что называется «спин-орбитальной» частью силы.

Не в меньшей степени сложный характер имеют силы вза­имодействия протона с нейтроном и нейтрона с нейтроном. До сего дня мы не знаем механизма, определяющего эти силы, не знаем никакого простого способа их понять.

Впрочем, в одном важном отношении ядерные силы все же проще, чем могли бы быть. Ядерные силы, действующие между двумя нейтронами, совпадают с силами, действующими между протоном и нейтроном, и с силами, действующими между двумя протонами! Если в некоторой системе, в которой имеются ядра, мы заменим нейтрон протоном (и наоборот), то ядерные взаимодействия не изменятся! «Фундаментальная причина» этого равенства нам не известна, но это проявление важного принципа, который может быть расширен на законы взаимодействия других силь­но взаимодействующих ча­стиц, таких, как л-мезоны и «странные» частицы.

Этот факт прекрасно ил­люстрируется расположе­нием уровней энергии в похожих ядрах.

Фиг. 8.7. Энергетические уровни ядер В 11 и С 11 (энергии в Мэв). Основное состояние С 11 на 1,982 Мэв выше, чем то же состояние В 11 .

Рассмотрим такое ядро, как В 11 (бор-одиннадцать), состоящее из пяти протонов и шести нейтронов. В ядре эти одиннадцать частиц взаимодействуют друг с другом, совершая какой-то замысловатый танец. Но существу­ет такое сочетание всех возможных взаимодействий, кото­рое обладает энергией, наинизшей из возможных; это нормаль­ное состояние ядра, и его называют основным. Если ядро возму­тить (скажем, стукнув по нему высокоэнергичным протоном или еще какой-то частицей), то оно может перейти в любое число дру­гих конфигураций, называемых возбужденными состояниями, каждое из которых будет обладать своей характеристической энергией, которая выше энергии основного состояния. В иссле­дованиях по ядерной физике, скажем проводимых с генератором Ван-де-Граафа, энергии и другие свойства этих возбужденных состояний определяются экспериментально. Энергии пятнад­цати наинизших из известных возбужденных состояний В 11 показаны на одномерной схеме в левой половине фиг. 8.7. Гори­зонталь внизу представляет основное состояние. Первое возбуж­денное состояние имеет энергию на 2,14 Мэв выше, чем основ­ное, следующее - на 4,46 Мэв выше, чем основное, и т. д. Иссле­дователи пытаются найти объяснение этой довольно запутанной картины уровней энергии; пока, однако, нет еще полной общей теории таких ядерных уровней энергии.

Если в В 11 заменить один из нейтронов протоном, получится ядро изотопа углерода С 11 . Энергии шестнадцати низших воз­бужденных состояний ядра С 11 тоже были измерены; они пока­заны на фиг. 8.7 справа. (Штрихами проведены уровни, для ко­торых экспериментальная информация находится под вопросом.)

Глядя на фиг. 8.7, мы замечаем поразительное подобие меж­ду картинами уровней энергии обоих ядер. Первые возбужден­ные состояния находятся примерно на 2 Мэв выше основного. Затем имеется широкая щель шириной 2,3 Мэв, отделяющая второе возбужденное состояние от первого, затем небольшой скачок на 0,5 Мэв до третьего уровня. Потом опять большой скачок от четвертого до пятого уровня, но между пятым и ше­стым узкий промежуток в 0,1 Мэв. И так далее. Примерно на десятом уровне соответствие, видимо, пропадает, но его все еще можно обнаружить, если пометить уровни другими характе­ристиками, скажем их моментами количества движения, и тем, каким способом они теряют свой избыток энергии.

Впечатляющее подобие картины уровней энергии ядер В 11 и С 11 - отнюдь не просто совпадение. Оно скрывает за собой некоторый физический закон. И действительно, оно показы­вает, что даже в сложных условиях ядра замена нейтрона про­тоном мало что изменит. Это может значить лишь то, что нейтрон-нейтронные и протон-протонные силы должны быть почти оди­наковыми. Только тогда мы могли бы ожидать, что ядерные конфигурации из пяти протонов и шести нейтронов совпадут с комбинацией «пять нейтронов - шесть протонов».

Заметьте, что свойства этих ядер ничего не говорят нам о нейтрон-протонных силах; число нейтрон-протонных комбина­ций в обоих ядрах одинаково. Но если мы сравним два других ядра, таких, как С 14 с его шестью протонами и восемью нейтро­нами и N 14 , в котором и тех, и других по семи штук, то выявим в энергетических уровнях такое же соответствие. Можно выве­сти заключение, что р-р-, n-n- и р -n-силы совпадают между собой во всех деталях. В законах ядерных сил возник неожидан­ный принцип. Хотя силы, действующие между каждой парой ядерных частиц, очень запутаны, но силы взаимодействия для любой из трех мыслимых пар одни и те же.

Однако есть и какие-то слабые отличия. Точного соответствия уровней нет; кроме того, основное состояние С 11 обладает абсо­лютной энергией (массой), которая на 1,982 Мэв выше основного состояния В 11 . Все прочие уровни тоже по абсолютной величине энергии выше на такое же число. Так что силы не совсем точно равны. Но мы и так хорошо знаем, что полная, величина сил не совсем одинакова; между двумя протонами действуют электриче­ские силы, ведь каждый из них заряжен положительно, а между нейтронами таких сил нет. Может быть, различие между В 11 и С 11 объясняется тем фактом, что в этих двух случаях различны электрические взаимодействия протонов? А может, и остающаяся ми­нимальная разница в уровнях вызывается электрическими эф­фектами? Раз уж ядерные силы так сильны по сравнению с электрическими, то электрические эффекты могли бы только слегка возмутить энергии уровней.

Чтобы проверить это представление или, лучше сказать, чтобы выяснить, к каким следствиям оно приведет, мы сперва рассмотрим разницу в энергиях основных состояний обоих ядер. Чтобы модель была совсем простой, положим, что ядра - это шары радиуса r (который нужно определить), содержащие Z протонов. Если считать ядро шаром с равномерно распреде­ленным зарядом, то можно ожидать, что электростатическая энергия [из уравнения (8.7)] окажется равной

где q e - элементарный заряд протона. Из-за того, что Z равно для В 11 пяти, а для С 11 шести, электростатические энергии бу­дут различаться.

Но при таком малом количестве протонов уравнение (8.22) не совсем правильно. Если мы подсчитаем электрическую энер­гию взаимодействия всех пар протонов, рассматриваемых как точки, примерно однородно распределенные по шару, то увидим, что величину Z 2 в (8.22) придется заменить на Z(Z- 1), так что энергия будет равна

Если известен радиус ядра r, мы можем воспользоваться выра­жением (8.23), чтобы определить разницу электростатических энергий ядер В 11 и С 11 . Но проделаем обратное: из наблюдаемой разницы в энергиях вычислим радиус, считая, что вся суще­ствующая разница по происхождению - электростатическая. В общем, это не совсем верно. Разность энергий 1,982 Мэв двух основных состояний В 11 и С 11 включает энергии покоя, т. е. энергии тc 2 всех частиц. Переходя от В 11 к С 11 , мы замещаем нейтрон протоном, масса которого чуть поменьше. Так что часть разности энергий - это разница в массах покоя нейтрона и протона, составляющая 0,784 Мэв. Та разность, которую надо сравнивать с электростатической энергией, тем самым больше 1,982 Мэв; она равна

Подставив эту энергию в (8.23), для радиуса В 11 или С 11 по­лучим

Имеет ли это число какой-нибудь смысл? Чтобы это прове­рить, сравним его с другими определениями радиусов этих ядер.

Например, можно определить радиус ядра иначе, наблюдая, как рассеивает оно быстрые частицы. В ходе этих измерений выяс­нилось, что плотность вещества во всех ядрах примерно оди­накова, т. е. их объемы пропорциональны числу содержащихся в них частиц. Если через А обозначить число протонов и нейтро­нов в ядре (число, очень близко пропорциональное его массе), то оказывается, что радиус ядра дается выражением

Из этих измерений мы получим, что радиус ядра В 11 (или С 1 1)должен быть примерно равен

Сравнив это с выражением (8.24), мы увидим, что наши пред­положения об электростатическом происхождении разницы в энергиях В 11 и С 11 не столь неверны; расхождение едва ли до­стигает 15% (а это не так уж скверно для первого расчета по теории ядра!).

Причина расхождения, по всей вероятности, состоит в сле­дующем. Согласно нашему нынешнему пониманию ядер, четное количество ядерных частиц (в случае В 11 пять нейтронов с пятью протонами) образует своего рода оболочку; когда к этой оболочке добавляется еще одна частица, то вместо того, чтобы поглотиться, она начинает обращаться вокруг оболочки. Если это так, то для добавочного протона нужно взять другое значение электростатической энергии. Нужно считать, что избыток энер­гии С 11 над В 11 как раз равен

т. е. равен энергии, необходимой для того, чтобы снаружи обо­лочки появился еще один протон. Это число составляет 5 / 6 ве­личины, предсказываемой уравнением (8.23), так что новое значение радиуса будет равно 5 / 6 от (8.24). Оно намного лучше согласуется с прямыми измерениями.

Согласие в цифрах приводит к двум выводам. Первый: зако­ны электричества, видимо, действуют и на столь малых расстоя­ниях, как 10 -1 3 см. Второй: мы убедились в замечательном сов­падении - неэлектрическая часть сил взаимодействия протона с протоном, нейтрона с нейтроном и протона с нейтроном одинакова.

§ 5. Энергия в электростатическом поле

Рассмотрим теперь другие способы подсчета электростатичес­кой энергии. Все они могут быть получены из основного соот­ношения (8.3) суммированием (по всем парам) взаимных энергий каждой пары зарядов. Прежде всего, мы хотим написать выраже­ние для энергии распределения зарядов. Как обычно, считаем, что каждый элемент объема dV содержит в себе элемент заряда pdV. Тогда уравнение (8.3) запишется так:

Обратите внимание на появление множителя 1 / 2 . Он возник из-за того, что в двойном интеграле по dV 1 и по dV 2 каждая пара элементов заряда считалась дважды. (Не существует удобной записи интеграла, в которой каждая пара считалась бы только по одному разу.) Затем заметьте, что интеграл по dV 2 в (8.27) - это просто потенциал в точке (1), т. е.

так что (8.27) можно записать в виде

А так как точка (2) при этом выпала, то можно написать просто

Это уравнение можно истолковать так. Потенциальная энер­гия заряда rdV равна произведению этого заряда на потенциал в той же точке. Вся энергия поэтому равна интегралу от jrdV. Но, кроме этого, есть множитель 1 / 2 . Он все еще необходим, по­тому что энергии считаются дважды. Взаимная энергия двух зарядов равна заряду одного из них на потенциал другого в этой точке. Или заряду другого на потенциал от первого во второй точке. Так что для двух точечных зарядов можно написать

Обратите внимание, что это же можно написать и так:

Интеграл в (8.28) отвечает сложению обоих слагаемых в скобках выражения (8.29). Вот зачем нужен множитель 1 / 2 .

Интересен и такой вопрос: где размещается электростатичес­кая энергия? Правда, можно в ответ спросить: а не все ли равно?

Есть ли смысл у такого вопроса? Если имеется пара взаимодей­ствующих зарядов, то их сочетание обладает некоторой энер­гией. Неужели нужно непременно уточнять, что энергия со­средоточена на этом заряде, или на том, или на обоих сразу, или между ними? Все эти вопросы лишены смысла, потому что мы знаем, что на самом деле сохраняется только полная, суммар­ная энергия. Представление о том, что энергия сосредоточена где-то, не так уж необходимо.

Ну а все же предположим, что в том, что энергия всегда со­средоточена в каком-то определенном месте (подобно тепловой энергии), действительно смысл есть. Тогда мы могли бы наш принцип сохранения энергии расширить, соединив его с идеей о том, что если в каком-то объеме энергия меняется, то это изме­нение можно учесть, наблюдая приток или отток энергии из объема. Вы ведь понимаете, что наше первоначальное утвержде­ние о сохранении энергии по-прежнему будет превосходно вы­полняться, если какая-то энергия пропадет в одном месте и возникнет где-то далеко в другом, а в промежутке между этими местами ничего не случится (ничего - это значит не случится каких-либо явлений особого рода). Поэтому мы можем перейти теперь к расширению наших идей о сохранении энергии. Назо­вем это расширение принципом локального (местного) сохране­ния энергии. Такой принцип провозглашал бы, что энергия внутри любого данного объема изменяется лишь на количество, равное притоку (или убыли) энергии в объем (или из него). И действительно, такое локальное сохранение энергии вполне возможно. Если это так, то в нашем распоряжении будет куда более детальный закон, чем простое утверждение о сохранении полной энергии. И, как оказывается, в природе энергия действи­тельно сохраняется локально, в каждом месте порознь, и можно написать формулы, показывающие, где энергия сосредоточена и как она перетекает с места на место.

Имеется и физический резон в требовании, чтобы мы были в состоянии указать, где именно заключена энергия. По теории тяготения всякая масса есть источник гравитационного притя­жения. А по закону Е=тс 2 мы также знаем, что масса и энергия вполне равноценны друг другу. Стало быть, всякая энергия яв­ляется источником силы тяготения. И если б мы не могли узнать, где находится энергия, мы бы не могли знать, где расположена масса. Мы не могли бы сказать, где размещаются источники поля тяготения. И теория тяготения стала бы неполной.

Конечно, если мы ограничимся электростатикой, то способа узнать, где сосредоточена энергия, у нас нет. Но полная система максвелловских уравнений электродинамики снабдит нас не­сравненно более полной информацией (хотя и тогда, строго говоря, ответ до конца определенным не станет). Подробнее мы этот вопрос рассмотрим позже. А сейчас приведем лишь результат, касающийся частного случая электростатики

Фиг. 8.8. Каждый элемент объема dV=dxdydz в электриче­ском поле содержит в себе энер­гию (e 0 /2) E 2 dV.

Энергия заключена в том пространстве, где имеется электрическое поле. Это, ви­димо, вполне разумно, потому что известно, что, ускоряясь, заряды излучают электрические поля. И когда свет или радио­волны распространяются от точки к точке, они переносят с со­бой свою энергию. Но в этих волнах нет зарядов. Так что энер­гию хотелось бы размещать там, где есть электромагнитное поле, а не там, где есть заряды, создающие это поле. Таким об­разом, мы описываем энергию не на языке зарядов, а на языке создаваемых ими полей. Действительно, мы можем показать, что уравнение (8.28) численно совпадает с

Эту формулу можно толковать, говоря, что в том месте простран­ства, где присутствует электрическое поле, сосредоточена и энергия; плотность ее (количество энергии в единице объема) равна

Эта идея иллюстрируется фиг. 8.8.

Чтобы показать, что уравнение (8.30) согласуется с нашими законами электростатики, начнем с того, что введем в уравне­ние (8.28) соотношение между r и j, полученное в гл. 6:

Расписав покомпонентно подынтегральное выражение, мы

увидим, что

А наш интеграл энергий тогда равен

С помощью теоремы Гаусса второй интеграл можно превратить в интеграл по поверхности:

Этот интеграл мы подсчитаем для того случая, когда поверх­ность простирается до бесконечности (так что интеграл по объе­му обращается в интеграл по всему пространству), а все заряды расположены на конечном расстоянии друг от друга. Проще всего это сделать, взяв поверхность сферы огромного радиуса с центром в начале координат. Мы знаем, что вдали от всех заря­дов j изменяется как 1/R, a Сj как 1/R 2 . (И даже быстрее, если суммарный заряд нуль.) Площадь же поверхности большой сферы растет только как R 2 , так что интеграл по поверхности убывает по мере возрастания радиуса сферы как

(1/R)(1/R 2)/R 2 = (1/R). Итак, если наше интегрирование захватит собой все пространство (R® Ґ), то поверхностный интеграл обратится в нуль, и мы обнаружим

Мы видим, что существует возможность представить энергию произвольного распределения зарядов в виде интеграла от плотности энергии, сосредоточенной в поле.

§ 6. Энергия точечного заряда

Новое соотношение (8.35) говорит нам, что даже у отдель­ного точечного заряда q имеется какая-то электростатическая энергия. Поле в этом случае дается выражением

так что плотность энергии на расстоянии rот заряда равна

За элемент объема можно принять сферический слой толщиной dr, по площади равный 4pr 2 . Полная энергия будет

Верхний предел г=Ґ не приводит к затруднениям. Но раз заряд точечный, то мы намерены интегрировать до самого нуля (r=0), а это означает бесконечность в интеграле. Уравнение (8.35) утверждает, что в поле одного точечного заряда содер­жится бесконечно много энергии, хотя начали мы с представле­ния о том, что энергия имеется только между точечными заря­дами. В нашу первоначальную форму для энергии совокупно­сти точечных зарядов (8.3) мы не включили никакой энергии взаимодействия заряда с самим собой. Что же потом случилось? А то, что, переходя в уравнении (8.27) к непрерывному распределению зарядов, мы засчитывали в общую сумму взаимодей­ствие всякого бесконечно малого заряда со всеми прочими беско­нечно малыми зарядами. Тот же учет велся и в уравнении (8.35), так что, когда мы применяем его к конечному точечному заряду, мы включаем в интеграл энергию, которая понадобилась бы, чтобы накопить этот заряд из бесконечно малых частей. И действи­тельно, вы могли заметить, что результат, следующий из урав­нения (8.36), мы могли бы получить также из выражения (8.11) для энергии заряженного шара, устремив его радиус к нулю.

Мы вынуждены прийти к заключению, что представление о том, будто энергия сосредоточена в поле, не согласуется с пред­положением о существовании точечных зарядов. Один путь преодоления этой трудности - это говорить, что элементарные заряды (такие, как электрон) на самом деле вовсе не точки, а не­большие зарядовые распределения. Но можно говорить и обрат­ное: неправильность коренится в нашей теории электричества на очень малых расстояниях или в нашем представлении о со­хранении энергии в каждом месте порознь. Но каждая такая точка зрения все равно встречается с затруднениями. И их ни­когда еще не удавалось преодолеть; существуют они и по сей день. Немного позже, когда мы познакомимся с некоторыми до­полнительными представлениями, такими, как импульс электро­магнитного поля, мы более подробно поговорим об этих основ­ных трудностях в нашем понимании природы

Одно из самых интересных и полезных открытий в механике - это закон сохранения энергии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состояниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.

Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды и , разделенные промежутком . У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчитывали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна

Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Отсюда следует, что полная энергия системы нескольких зарядов есть сумма членов, выражающих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если и - какие-то два из зарядов, а расстояние между ними (фиг. 8.1), то энергия именно этой пары равна

Фигура 8.1. Электростатическая энергия системы частиц есть сумма электростатических энергий каждой пары

Полная электростатическая энергия есть сумма энергий всевозможных пар зарядов:

(8.3)

Если распределение задается плотностью заряда , то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.

Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Первая - применение понятия энергии к электростатическим задачам; вторая - разные способы оценки величины энергии. Порой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину соответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно заряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.

Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последовательно друг на друга сферические слои бесконечно малой толщины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое количество электричества и размещаем его тонким слоем от до . Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не доберемся до заданного радиуса (фиг. 8.2). Если - это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса , то работа, требуемая для доставки на шар заряда , равна

Фигура 8.2. Энергию однородно заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.

Если плотность заряда внутри шара есть , то заряд равен

а заряд равен по всем парам точек внутри шара равно .

Заряженный конденсатор обладает энергией. Проще всего выражение для этой энергии получить, рассматривая плоский конденсатор.

Энергия плоского конденсатора. Предположим, что пластины конденсатора, несущие равные и противоположные по знаку заряды, сначала расположены на расстоянии Затем одной из пластин мысленно дадим возможность перемещаться в направлении к другой пластине вплоть до полного их совмещения, коща заряды пластин компенсируются и конденсатор фактически исчезнет. При этом исчезает и энергия конденсатора, поэтому работа действующей на пластину электрической силы, совершаемая при ее перемещении, как раз и равна первоначальному запасу энергии конденсатора. Подсчитаем эту работу.

Сила, действующая на пластину, равна произведению ее заряда на напряженность однородного электрического поля, создаваемого другой пластиной. Эта напряженность, как мы видели в § 7, равна половине полной напряженности Е электрического поля внутри конденсатора, создаваемой зарядами обеих пластин. Поэтому искомая работа где - напряжение между

пластинами. Таким образом, выражение для энергии конденсатора через его заряд и напряжение имеет вид

Поскольку заряд конденсатора и напряжение связаны соотношением то формулу (1) можно переписать в эквивалентной форме так, чтобы энергия выражалась либо только через заряд либо только через напряжение

Энергия конденсатора. Эта формула справедлива для конденсатора любой формы. В этом можно убедиться, рассматривая работу, которую необходимо совершить для того, чтобы зарядить конденсатор, перенося заряд маленькими порциями с одной обкладки на другую. При вычислении этой работы следует учесть, что первая порция заряда переносится через нулевую разность потенциалов, последняя - через полную разность потенциалов а в каждый момент разность потенциалов пропорциональна уже перенесенному заряду.

Формулы (1) или (2) для энергии заряженного конденсатора можно, разумеется, получить как частный случай общей формулы (12) § 4, справедливой для энергии системы любых заряженных тел:

Энергию заряженного конденсатора можно трактовать не только как потенциальную энергию взаимодействия зарядов, но и как энергию создаваемого этими зарядами электрического поля, заключенного в пространстве между обкладками конденсатора. Обратимся опять для простоты к плоскому конденсатору, где электрическое поле однородно. Подставляя в выражение для энергии получаем

где - объем между обкладками конденсатора, заполненный электрическим полем.

Плотность энергии электрического поля. Энергия заряженного конденсатора оказывается пропорциональной занимаемому электрическим полем объему. Очевидно, что множитель, стоящий перед V в формуле (4), имеет смысл энергии, заключенной в единичном объеме, т. е. объемной плотности энергии электрического поля:

В СИ эта формула имеет вид

В системе единиц СГСЭ

Выражения для объемной плотности энергии справедливы при любой конфигурации электрического поля.

Энергия заряженного шара. Рассмотрим, например, энергию уединенного шара радиуса по поверхности которого равномерно распределен заряд . Такую систему можно рассматривать как предельный случай сферического конденсатора, радиус внешней обкладки которого стремится к бесконечности, а емкость принимает значение, равное радиусу шара (в системе единиц СГСЭ). Применяя для энергии формулу получаем

Если рассматривать эту энергию как энергию поля, создаваемого шаром, то можно считать, что вся она локализована в окружающем шар пространстве, а не внутри его, так как там напряженность поля Е равна нулю. Наибольшее значение объемная плотность имеет вблизи поверхности шара и очень быстро убывает при удалении от нее - как .

Собственная энергия точечного заряда. Таким образом, электростатическую энергию можно рассматривать либо как энергию взаимодействия зарядов, либо как энергию создаваемого этими зарядами поля.

Однако, рассматривая энергию двух разноименных точечных зарядов, мы приходим к противоречию. Согласно формуле (12) § 4 эта энергия отрицательна: а если ее рассматривать как энергию поля этих зарядов, то энергия получается положительной, так как плотность энергии поля, пропорциональная нигде не принимает отрицательных значений. В чем же здесь дело? Объясняется это тем, что в формуле (12) для энергии точечных зарядов учитывается лишь их взаимодействие, но не учитывается взаимодействие отдельных элементов каждого такого заряда между собой. Действительно, если мы имеем дело лишь с одним единственным точечным зарядом то энергия, вычисляемая по формуле (12), равна нулю, в то время как энергия электрического поля этого заряда имеет положительное (бесконечное для истинно точечного заряда) значение, равное так называемой собственной энергии заряда .

Чтобы убедиться в этом, обратимся к формуле (8) для энергии заряженного шара. Если устремить в ней к нулю, то мы и придем к точечному заряду. С уменьшением плотность энергии растет настолько быстро, что, как видно из (8), полная энергия поля оказывается бесконечно большой. В классической электродинамике собственная энергия точечного заряда бесконечна.

Собственная энергия произвольного заряда может рассматриваться как энергия взаимодействия его частей. Эта энергия зависит, конечно, от размеров и формы заряда. Часть ее освободилась бы при «взрыве» и разлете «осколков» заряда под действием кулоновских сил отталкивания, превратившись в кинетическую энергию «осколков», другая ее часть осталась бы в форме собственной энергии этих «осколков».

Рассмотрим теперь полную, т. е. собственную и взаимную, энергию двух зарядов Пусть каждый из этих зарядов в отдельности создает соответственно поле так что результирующее поле Объемная плотность энергии поля распадается на три слагаемых в соответствии с выражением

Первые два слагаемых в правой части соответствуют объемной плотности собственных энергий зарядов а третье слагаемое соответствует энергии взаимодействия зарядов друг с другом. Именно эта часть полной энергии системы и дается формулой (12) § 4. Из очевидного неравенства следует, что Таким образом, положительная собственная энергия зарядов всегда больше или в крайнем случае равна их взаимной энергии. Насмотря на то, что взаимная энергия может принимать как положительные, так и отрицательные значения, полная энергия, пропорциональная всегда положительна.

При всех возможных перемещениях зарядов, не изменяющих их формы и размеров, собственная энергия зарядов остается постоянной. Поэтому при таких перемещениях изменение полной энергии системы зарядов равно изменению их взаимной энергии. Так как во всех физических явлениях существенно именно изменение энергии системы, то постоянная часть - собственная энергия зарядов - может быть отброшена. В этом смысле и следует понимать утверждение об эквивалентности энергии взаимодействия зарядов и энергии создаваемого ими поля. Итак, мы можем сопоставлять системе зарядов либо полную энергию - энергию поля, либо энергию взаимодействия и будем получать при этом, вообще говоря, разные значения. Но, рассматривая переход системы из одного состояния в другое, мы для изменения энергии всегда получим одну и ту же величину.

Обратим внимание, что при использовании формулы (12) § 4 для системы точечных зарядов и проводников мы получаем, как видно

из самого вывода формулы, собственную энергию проводников и взаимную потенциальную энергию всех входящих в систему зарядов, т. е. полную энергию поля за вычетом неизменной собственной энергии точечных зарядов.

Собственная энергия проводника. Собственная энергия проводников, в отличие от собственной энергии точечных зарядов, не является постоянной. Она может измениться при изменении конфигурации системы вследствие перемещения зарядов в проводниках. Поэтому эта энергия не может быть отброшена при вычислении изменения энергии системы.

В том случае, когда система состоит только из проводников, а точечных зарядов нет, формула (12) §4 дает полную энергию системы, т. е. сумму собственных энергий всех проводников и энергии их взаимодействия. Мы получаем одно и то же значение независимо от того, рассматриваем ли энергию поля или энергию системы зарядов. Примером такой системы является конденсатор, где, как мы видели, оба подхода дают одинаковый результат

Очевидно, что при наличии точечных зарядов и проводников не имеет смысла рассматривать по отдельности собственную энергию проводников и взаимную потенциальную энергию всех зарядов, так как работа внешних сил определяет изменение суммы этих энергий. Исключить из рассмотрения можно только неизменную собственную энергию точечных зарядов.

Энергетические превращения в конденсаторах. Для анализа энергетических превращений, которые могут происходить в электрическом поле, рассмотрим плоский конденсатор с воздушным зазором, подсоединенный к источнику с постоянным напряжением Будем раздвигать пластины конденсатора от расстояния до расстояния в двух случаях: предварительно отсоединив конденсатор от источника питания и не отсоединяя конденсатор от источника.

В первом случае заряд на обкладках конденсатора все время остается неизменным: хотя емкость С и напряжение изменяются при движении пластин. Зная напряжение на конденсаторе в начальный момент, находим величину этого заряда (в единицах СИ):

Так как разноименно заряженные пластины конденсатора притягиваются, для их раздвижения необходимо совершить положительную механическую работу. Если при раздвижении расстояние между пластинами все время остается много меньше их линейных размеров, то сила притяжения пластин не зависит от расстояния между ними.

Для равномерного перемещения пластины внешняя сила должна уравновесить силу притяжения, и поэтому совершаемая при перемещении пластины на расстояние механическая работа равна

так как где - неизменная напряженность поля, создаваемого зарядами обеих обкладок. Подставляя в (11) заряд из (10) и находим

Второй случай отличается от рассмотренного тем, что при движении пластин остается неизменным не заряд конденсатора, а напряжение на нем: Поскольку расстояние между обкладками увеличивается, то напряженность поля убывает, а следовательно, убывает и заряд на пластинах. Поэтому сила притяжения пластин не остается постоянной, как в первом случае, а убывает, причем, как нетрудно убедиться, обратно пропорционально квадрату расстояния. Вычислить работу этой переменной силы можно с помощью закона сохранения и превращения энергии.

Применим его сначала к более простому первому случаю. Изменение энергии конденсатора происходит только за счет механической работы, совершаемой внешними силами: Поскольку заряд конденсатора остается неизменным, для энергии конденсатора удобно воспользоваться формулой Таким образом,

что при подстановке выражения для емкости и для заряда (10) приводит к окончательной формуле (12). Обратим внимание, что этот результат можно получить и рассматривая энергию конденсатора как энергию электрического поля между его обкладками. Так как напряженность поля и, следовательно, плотность энергии остаются неизменными, а объем, занимаемый полем, возрастает, то увеличение энергии равно произведению плотности энергии на приращение объема

Во втором случае энергия конденсатора изменяется как за счет механической работы, так и за счет работы, совершаемой источником питания:

Определив независимо изменение энергии конденсатора и работу источника, можно с помощью закона сохранения энергии (13) найти механическую работу.

Поскольку в этом случае остается неизменным напряжение, для расчета энергии конденсатора удобно использовать формулу Для изменения энергии получаем

При изменении заряда на обкладках конденсатора на величину источник питания совершает работу Заряд конденсатора определяется соотношением Тогда

и с помощью выражения (13) получаем

Отметим, что из (15) и (14) видно, что

т. е. работа источника равна удвоенному изменению энергии конденсатора.

Интересно отметить, что как работа источника, так и изменение энергии конденсатора получились отрицательными. Это вполне понятно: совершаемая механическая работа положительна и должна была бы привести к увеличению энергии конденсатора (как и происходит в первом случае). Но энергия конденсатора убывает, и, следовательно, источник должен «принять на себя» энергию, равную убыли энергии конденсатора и механической работе внешних сил. Если процессы в источнике обратимы (аккумулятор), то он будет заряжаться, в противном случае источник просто нагревается.

Чтобы лучше разобраться в сути явлений, рассмотрим противоположный случай: присоединенные к источнику пластины конденсатора сближают от расстояния до расстояния Поскольку пластины притягиваются, работа внешних сил отрицательна, ибо для равномерного перемещения пластин внешняя сила должна быть направлена в сторону, противоположную перемещению. Энергия конденсатора при сближении пластин возрастает. Итак, механическая работа внешних сил отрицательна, а энергия конденсатора возросла, следовательно, источник совершил положительную работу. Половина этой работы равна увеличению энергии конденсатора, вторая половина передана внешним телам в виде механической работы при сближении пластин. Все приведенные выше формулы применимы, разумеется, при любом направлении перемещения пластин.

Во всех рассуждениях мы пренебрегали сопротивлением проводов, соединяющих конденсатор с источником. Если учитывать выделяющуюся в проводах при движении зарядов теплоту уравнение

баланса энергии принимает вид

Изменение энергии конденсатора и работа источника выражаются, конечно, прежними формулами (14) и (15). Теплота всегда выделяется независимо от того, сближаются или раздвигаются пластины, поэтому Значение можно вычислить, если известна скорость движения пластин. Чем больше скорость движения, тем больше выделяющаяся теплота. При бесконечно медленном движении пластин

Изменение энергии и работа источника. Выше мы отметили, что работа источника питания при раздвижении пластин равна удвоенному изменению энергии конденсатора. Этот факт носит универсальный характер: если любым способом изменить энергию подсоединенного к источнику питания конденсатора, то работа, совершаемая при этом источником питания, равна удвоенному значению изменения энергии конденсатора:

Как в этом убедиться? Поскольку конденсатор все время остается присоединенным к источнику питания, напряжение на конденсаторе равно как в начале, так и в конце процесса (хотя во время процесса напряжение на конденсаторе может быть и меньше). Если заряд конденсатора во время процесса изменился на величину то его энергия изменилась на величину

При этом источник питания совершил работу

Чтобы не возникало подозрений в том, что половина энергии «бесследно исчезла», напишем уравнение баланса энергии:

где - механическая работа, совершенная при этом процессе силами, действующими на внешние тела, выделившаяся теплота. Очевидно, что и равно оставшейся половине работы источника. Существуют такие процессы, в которых либо либо Но, как видно из (16) и (17), изменение энергии конденсатора, соединенного с источником, обязательно сопровождается либо совершением механической работы, либо выделением теплоты.

Получите формулу для энергии заряженного конденсатора, рассматривая работу, совершаемую при его зарядке путем переноса заряда с одной обкладки на другую.

Поясните качественно, почему объемная плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату его напряженности.

Что такое собственная энергия точечного заряда? Как в электростатике преодолевается трудность, связанная с бесконечным значением собственной энергии точечных зарядов?

Поясните, почему два первых слагаемых в правой части формулы (9) соответствуют объемной плотности собственных энергий точечных зарядов а третье слагаемое - энергии взаимодействия зарядов друг с другом.

Как связаны между собой изменение энергии конденсатора при каком-либо процессе и работа источника питания, к которому подсоединен этот конденсатор в течение всего процесса?

При каких условиях изменение энергии конденсатора, соединенного с источником питания, не сопровождается выделением теплоты?

Конденсатор с диэлектриком. Рассмотрим теперь энергетические превращения в конденсаторах при наличии диэлектрика между обкладками, считая для простоты его диэлектрическую проницаемость постоянной. Емкость конденсатора с диэлектриком в раз больше, чем емкость С такого же конденсатора без диэлектрика. Конденсатор с зарядом отсоединенный от источника питания, обладает энергией

Рис. 52. Втягивание пластины из диэлектрика в плоский конденсатор

При заполнении пространства между обкладками диэлектриком с проницаемостью энергия конденсатора уменьшится в раз: Отсюда сразу можно сделать вывод о том, что диэлектрик втягивается в электрическое поле.

Втягивающая сила при неизменном заряде конденсатора убывает по мере заполнения диэлектриком пространства между обкладками. Если на пластинах конденсатора поддерживается постоянное напряжение, то сила, втягивающая диэлектрик, не зависит от длины втянутой части.

Для нахождения силы, действующей на диэлектрик со стороны электрического поля, рассмотрим втягивание твердого диэлектрика в горизонтально расположенный конденсатор, соединенный с источником постоянного напряжения (рис. 52). Пусть под действием интересующей нас втягивающей силы и какой-то внешней силы кусок диэлектрика находится в Для нахождения высоты подъема жидкого диэлектрика приравняем вычисленную втягивающую силу весу поднявшейся жидкости и получим

Для нахождения выделившейся при подъеме жидкости теплоты проще всего исходить из закона сохранения энергии. Поскольку поднятый столб жидкости покоится, совершенная источником работа равна сумме изменений энергий конденсатора и потенциальной энергии диэлектрика в поле тяжести, а также выделившейся теплоты

Учитывая, что и пользуясь соотношением (21), находим

Таким образом, работа источника питания разделилась пополам: одна половина пошла на увеличение электростатической энергии конденсатора; вторая половина разделилась поровну между увеличением потенциальной энергии диэлектрика в поле тяжести и выделившейся теплотой. Как происходило выделение этой теплоты? При погружении пластин конденсатора в диэлектрик жидкость начинает подниматься, приобретая кинетическую энергию, и по инерции проскакивает положение равновесия. Возникают колебания, которые постепенно затухают из-за вязкости жидкости, и кинетическая энергия превращается в теплоту. Если вязкость достаточно велика, то колебаний может и не быть - вся теплота выделяется при подъеме жидкости до положения равновесия.

Сформулируйте закон сохранения энергии для процесса, в котором наряду с изменением электростатической энергии изменяется еще какая-либо энергия и происходит выделение теплоты.

Поясните физический механизм возникновения сил, втягивающих диэлектрик в пространство между пластинами заряженного конденсатора.

Электрический заряд – это физическая величина , характеризующая способность частиц или тел вступать в электромагнитные взаимодействия. Электрический заряд обычно обозначается буквами q или Q . В системе СИ электрический заряд измеряется в Кулонах (Кл). Свободный заряд в 1 Кл – это гигантская величина заряда, практически не встречающаяся в природе. Как правило, Вам придется иметь дело с микрокулонами (1 мкКл = 10 –6 Кл), нанокулонами (1 нКл = 10 –9 Кл) и пикокулонами (1 пКл = 10 –12 Кл). Электрический заряд обладает следующими свойствами:

Этот фактор называется электрическим точечным потенциалом . То есть: при электромагнетизме электрический потенциал или электростатический потенциал являются полем, эквивалентным потенциальной энергии , связанной со статическим электрическим полем, деленным на электрический заряд испытуемой частицы. Как хороший потенциал, только физические различия потенциалов имеют физическое значение. Электростатик является частью исследования электричества, которое изучает электрические заряды без движения, то есть в состоянии покоя.

Электростатическая и электродинамика

Электростатическое экранирование делает электрическое поле нулевым. Это связано с распределением избыточных электрических зарядов в проводнике. Нагрузки одного и того же сигнала имеют тенденцию уходить, пока они не достигнут покоя. В то время как электростатика изучает электрические заряды без движения, электродинамика изучает заряды в движении.

1. Электрический заряд является видом материи.

2. Электрический заряд не зависит от движения частицы и от ее скорости.

3. Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд.

Таким образом, электростатика и электродинамика - это области изучения физики, которые посвящены различным аспектам электричества. В дополнение к этим областям также существует электромагнетизм, который изучает способность электричества привлекать и подавлять полюса.

После равновесия сфера А приводится в контакт с другой идентичной сферой С, которая имеет электрический заряд 3е. Какова будет плотность электрического заряда этого региона? Гидрофобный характер полиуретана связан с силой электростатического отталкивания между молекулами материала и молекулами воды, физическим явлением , которое происходит между телами с электрическими зарядами одного и того же сигнала. Правильно сказать, что сила электростатического отталкивания.

4. Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными .

5. Все заряды взаимодействуют друг с другом. При этом одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. Силы взаимодействия зарядов являются центральными, то есть лежат на прямой, соединяющей центры зарядов.

Это повод вернуться к приведенным выше примерам и спросить себя, почему весна прекращается достаточно быстро, чтобы колебаться, как и качели, если не поддерживать движение. Это потому, что есть трения, и они генерируют тепло, даже если мы этого не осознаем. Энергия очень постоянна, но часть рассеивается в виде тепла.

Материал, резервуар электрической и ядерной энергии

Однако, в отличие от массы, заряд может быть как положительным, так и отрицательным: сила тогда привлекательна, если заряды имеют противоположные знаки, но отталкивающие, если они имеют один и тот же знак. В электрической ячейке или другом генераторе электрические заряды с положительным знаком распределены на положительном полюсе, а электрические заряды с отрицательным знаком распределены на противоположном полюсе.

6. Существует минимально возможный (по модулю) электрический заряд, называемый элементарным зарядом . Его значение:

e = 1,602177·10 –19 Кл ≈ 1,6·10 –19 Кл.

Электрический заряд любого тела всегда кратен элементарному заряду:

где: N – целое число. Обратите внимание, невозможно существование заряда, равного 0,5е ; 1,7е ; 22,7е и так далее. Физические величины, которые могут принимать только дискретный (не непрерывный) ряд значений, называются квантованными . Элементарный заряд e является квантом (наименьшей порцией) электрического заряда.

В дополнение к своим проявлениям в электричестве это «кулоновское» взаимодействие отвечает за стабильность материи. Ядра положительного электрического заряда притягивают отрицательные электроны , что заставляет их образовывать атомы, которые сами притягивают друг друга. Более того, когда происходит химическая реакция, результатом является реорганизация ядер и электронов и модификация кулоновской энергии. Это называется химической энергией. Топливо, такое как уголь, бензин или водород, является резервуаром химической энергии , но эта энергия - не что иное, как кулоновская энергия.

В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех тел остается постоянной:

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что в замкнутой системе тел не могут наблюдаться процессы рождения или исчезновения зарядов только одного знака. Из закона сохранения заряда так же следует, если два тела одного размера и формы, обладающие зарядами q 1 и q 2 (совершенно не важно какого знака заряды), привести в соприкосновение, а затем обратно развести, то заряд каждого из тел станет равным:

Эластичная энергия пружины, о которой мы говорили выше, также является следствием кулоновского взаимодействия. В ядерных ядрах имеются также ядерные взаимодействия, которые очень близки к ближнему и, следовательно, важны только внутри этих ядер. Они связывают нуклоны, т.е. протоны и нейтроны. Таким образом, можно выделять огромную энергию, комбинируя световые ядра. Огромную энергию также получают путем расщепления тяжелых ядер, таких как уран, который производится в бомбе А или в ядерном реакторе путем ядерного деления.

электрического поля

w = 1 2 ε 0 E2 + 1 2 E P. (11)

В формуле (11) первое слагаемое выражает плотность энергии электрического поля в вакууме, а второе слагаемое выражает энергию, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика.

В общем случае неоднородного электрического поля его энергию в некотором объеме V можно вычислить по формуле

4. Пондеромоторные силы. Применение закона сохранения энергии к расчету пондеромоторных сил.

На всякое заряженное тело, помещенное в электрическое поле, действуют механическая сила . Пондеромоторными называются силы, действующие со стороны электрического поля на макроскопические заряженные тела .

Определим силу взаимного притяжения между разноименно заряженными пластинами плоского конденсатора (пондеромоторную силу) двумя способами.

С одной стороны эту силу можно определить как силу F 2 , действующую на вторую пластину со стороны первой

F 2= Q 2E 1, (14)

где Q 2 – величина заряда на второй пластине,E 1 – напряженность поля первой пластины. Величина зарядаQ 2 второй пластины определяется формулой

Q 2 = σ 2 S , (15)

где σ 2 – поверхностная плотность заряда на второй пластине, а напряженностьЕ 1 поля, создаваемого первой пластиной вычисляется формулой

E 1 = σ 1 , (16)

где σ 1 – поверхностная плотность заряда на первой пластине. Подставим формулы (16) и (15) в формулу (14)

Учитывая, что σ = D = ε 0 ε E , получим формулу для силы, действующей на одну пластину со стороны другой

Для силы, действующей на единицу площади пластины, формула будет иметь следующий вид

F = ε 0 ε E 2 . (18)

Теперь получим формулу для пондеромоторной силы, используя закон сохранения энергии. Если тело перемещается в электрическом поле, то пондеромоторными силами

поля будет совершаться работа А. По закону сохранения энергии эта работа будет совершаться за счет энергии поля, то есть

A + W = 0 илиA = W . (19)

Работа по изменению расстояния между пластинами заряженного конденсатора на величину dx определяется формулой

где F – сила взаимодействия между обкладками (пондеромоторная сила).

Энергия заряженного конденсатора определяется формулой (9). При смещении одной из обкладок на расстояние dx энергии конденсатора изменится на величинуW

Как видим, формулы (18) и (22) одинаковые. Вместе с тем использование закона сохранения энергии для расчета пондеромоторных сил намного упрощает расчеты.

Вопросы для самопроверки:

1. Вывести формулу для энергии уединенного заряженного проводника и системы проводников.

2. Что является носителем электрической энергии? Что понимают под объемной

взаимодействия обкладок заряженного конденсатора?

7. Энергия электрического поля

(Примеры решения задач)

Энергия взаимодействия зарядов

Пример 1.

Определите электрическую энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной a (см. рис.2).

Решение .

На рис.3 условно изображены двунаправленными стрелками все парные взаимодействия зарядов. Учитывая энергии всех этих взаимодействий, получим:

Пример 2.

Определите электрическую энергию взаимодействия заряженного кольца с диполем, расположенным на его оси, как показано на рис.4. Известны расстояния a , l , заряды Q , q и радиус кольца R .

Решение .

При решении задачи следует учесть все энергии парных взаимодействий зарядов одного тела (кольца) с зарядами другого тела (диполя). Энергия взаимодействия точечного заряда q с зарядомQ , распределенным по кольцу, определяется суммой

,

где
- заряд бесконечно малого фрагмента кольца, - расстояние от этого фрагмента до зарядаq . Поскольку всеодинаковы и равны
, то

Аналогично найдем энергию взаимодействия точечного заряда –q с заряженным кольцом:

Суммируя W 1 иW 2 , получим для энергии взаимодействия кольца с диполем:

.

Электрическая энергия заряженных проводников

Пример 3.

Определите работу электрических сил при уменьшении в 2 раза радиуса однородно заряженной сферы. Заряд сферы q , ее первоначальный радиус R .

Решение .

Электрическая энергия уединенного проводника определяется формулой
, гдеq – заряд проводника,- его потенциал. Учитывая, что потенциал однородно заряженной сферы радиусаR равен
, найдем ее электрическую энергию:

.

После уменьшения в два раза радиуса сферы ее энергия становится равной

.

Электрические силы при этом совершают работу

.

Пример 4.

Два металлических шара, радиусы которых r и 2r , а соответствующие заряды 2q и –q , расположены в вакууме на большом расстоянии друг от друга. Во сколько раз уменьшится электрическая энергия системы, если шары соединить тонкой проволокой?

Решение .

После соединения шаров тонкой проволокой их потенциалы становятся одинаковыми

,

а установившиеся заряды шаров Q 1 и Q 2 получаются в результате перетекания заряда с одного шара на другой. При этом суммарный заряд шаров остается постоянным:

.

Из этих уравнений найдем

,
.

Энергия шаров до соединения их проволокой равна

,

а после соединения

.

Подставляя в последнее выражение значения Q 1 и Q 2 , получим после простых преобразований

.

Пример 5.

В один шар слились N = 8 одинаковых шариков ртути, заряд каждого из которых q . Считая, что в начальном состоянии ртутные шарики находились на большом расстоянии друг от друга, определите, во сколько раз увеличилась электрическая энергия системы.

Решение .

При слиянии ртутных шариков сохраняется их суммарный заряд и объем:

,

где Q – заряд шара, R – его радиус, r – радиус каждого маленького ртутного шарика. Суммарная электрическая энергия N уединенных шариков равна

.

Электрическая энергия полученного в результате слияния шара

.

После алгебраических преобразований получим

= 4.

Пример 6.

Металлический шарик радиуса R = 1 мм и заряда q = 0,1 нКл с большого расстояния медленно приближают к незаряженному проводнику и останавливают, когда потенциал шарика становится равным  = 450 В. Какую работу для этого следует совершить?

Решение .

,

где q 1 иq 2 – заряды проводников, 1 и 2 – их потенциалы. Так как проводник по условию задачи не заряжен, то

,

где q 1 и 1 заряд и потенциал шара. Когда шар и незаряженный проводник находятся на большом расстоянии друг от друга,

,

и электрическая энергия системы

.

В конечном состоянии системы, когда потенциал шара стал равным , электрическая энергия системы:

.

Работа внешних сил равна приращению электрической энергии:

= –0,0225 мкДж.

Заметим, что электрическое поле в конечном состоянии системы создается зарядами, индуцированными на проводнике, а также зарядами, неоднородно распределенными по поверхности металлического шара. Рассчитать это поле при известной геометрии проводника и заданном положении металлического шара весьма непросто. Нам не потребовалось этого делать, поскольку в задаче задана не геометрическая конфигурация системы, а потенциал шара в конечном состоянии.

Пример 7 .

Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами R 1 и R 2 (
и соответствующими зарядамиq 1 и q 2 . Найдите электрическую энергию W системы. Рассмотрите также специальный случай, когда
.

Решение .

Электрическая энергия системы из двух заряженных проводников определяется формулой

.

Для решения задачи необходимо найти потенциалы внутренней ( 1) и внешней ( 2) сфер. Это нетрудно сделать (см. соответствующий раздел пособия):

,
.

Подставляя эти выражения в формулу для энергии, получим

.

При
энергия равна

.

Собственная электрическая энергия и энергия взаимодействия

Пример 8.

Две проводящие сферы, заряды которых q и –q , радиусы R 1 и R 2 , расположены в вакууме на большом расстоянии друг от друга. Сфера большего радиуса R 2 состоит из двух полусфер. Полусферы разъединяют, подносят их к сфере радиуса R 1 , и вновь соединяют, образуя таким образом сферический конденсатор. Определите работу электрических сил при таком составлении конденсатора.

Решение .

Электрическая энергия двух удаленных друг от друга заряженных сфер равна

.

Электрическая энергия полученного сферического конденсатора:

,

Потенциал внутренней сферы,
- потенциал внешней сферы. Следовательно,

Работа электрических сил при таком составлении конденсатора:

Заметим, что электрическая энергия сферического конденсатора W 2 равна работе внешних сил по зарядке конденсатора. При этом электрические силы совершают работу
. Эта работа совершается не только при сближении заряженных обкладок, но и при нанесении заряда на каждую из обкладок. ПоэтомуA ЭЛ отличается от найденной выше работы A , совершенной электрическими силами только при сближения обкладок.

Пример 9.

Точечный заряд q = 1,5 мкКл расположен в центре сферической оболочки, по поверхности которой однородно распределен заряд Q = 5 мкКл. Найдите работу электрических сил при расширении оболочки – увеличении ее радиуса от R 1 = 50 мм до R 2 = 100 мм.

Решение .

Энергия взаимодействия точечного заряда q с зарядами, расположенными на сферической оболочке радиуса R равна

,

Собственная электрическая энергия оболочки (энергия взаимодействия зарядов оболочки между собой) равна:

.

Работа электрических сил при расширении оболочки:

.

После преобразований получим

1,8 Дж.

Другой способ решения

Точечный заряд представим в виде однородно заряженной сферы малого радиуса r и заряда q . Полная электрическая энергия системы равна

,

Потенциал сферы радиуса r ,

Потенциал сферы радиуса R . При расширении внешней сферы электрические силы совершают работу

.

После подстановок и преобразований получим ответ.

Объемная плотность энергии электрического поля

Пример 10 .

Какая часть электрической энергии заряженного проводящего шара, расположенного в вакууме, заключена в пределах концентрической с шаром воображаемой сферы, радиус которой в n раз больше радиуса шара?

Решение .

Объемная плотность энергии электрического поля

определяет электрическую энергию
, локализованную в бесконечно малом объеме
(E – модуль вектора напряженности электрического поля в этом объеме,  - диэлектрическая проницаемость). Чтобы вычислить полную электрическую энергию заряженного проводящего шара, мысленно разобьем все пространство на бесконечно тонкие шаровые слои, концентрические с заряженным шаром. Рассмотрим один из таких слоев радиуса r и толщины dr (см. рис.5). Его объем равен

,

а сосредоточенная в слое электрическая энергия

.

Напряженность E поля заряженного проводящего шара зависит, как известно, от расстояния r до центра шара. Внутри шара
, поэтому при вычислении энергии достаточно рассматривать только те шаровые слои, радиусr которых превышает радиус шара R .

При
напряженность поля

,

диэлектрическая проницаемость
и, следовательно

,

где q – заряд шара.

Полная электрическая энергия заряженного шара, определяется интегралом

,

а энергия, сосредоточенная внутри воображаемой сферы радиуса nR , равна

.

Следовательно,

.

Пример 11.

Определите электрическую энергию системы, состоящей из заряженного проводящего шара и концентрического с ним незаряженного проводящего шарового слоя (рис.6). Внутренний и внешний радиусы слоя a и b , радиус шара
, зарядq , система находится в вакууме.

Решение .

На внутренней и внешней поверхностях шарового слоя распределены индуцированные заряды. Их алгебраическая сумма равна нулю, поэтому индуцированные заряды не создают электрического поля при
, гдеr – расстояние от центра системы. В области
напряженность поля индуцированных зарядов также равна нулю, поскольку они однородно распределены по сферическим поверхностям. Таким образом, электрическое поле системы совпадает с полем однородно заряженной по поверхности сферы, за исключением внутренней области шарового слоя, гдеE = 0. На рис.7 приведен примерный график зависимости
. Опуская подробные выкладки (см. пример 10), запишем для электрической энергии системы:

,

где
,
,
. После интегрирования получим

.

Пример 12.

Первоначально заряд q распределен однородно по объему шара радиуса R . Затем вследствие взаимного отталкивания заряды переходят на поверхность шара. Какую работу совершают при этом электрические силы? Диэлектрическую проницаемость считайте равной единице.

Решение .

Работа электрических сил равна убыли электрической энергии:

,

где W 1 – электрическая энергия однородно заряженного по объему шара,W 2 – энергия того же шара, однородно заряженного по поверхности. Поскольку суммарный заряд в обоих случаях одинаков, то электрическое поле вне шара при переходе заряда из объема на поверхность не изменяется. Электрическое поле и энергия изменяются только внутри шара.

При помощи теоремы Гаусса можно вывести формулу для напряженности поля внутри однородно заряженного шара на расстоянии r от его центра:

.

Электрическая энергия, сосредоточенная внутри шара, определяется интегралом:

.

Когда все заряды перешли на поверхность шара, электрическое поле, а следовательно, и энергия электрического поля внутри шара стали равными нулю. Таким образом,

.